Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Foco e diretriz .
Passo 1
O enunciado pede a parábola cujo foco é e cuja diretriz é a reta . O conteúdo é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância de um ponto ao foco e de um ponto à reta.
Passo 2
Seja um ponto genérico da parábola. A distância de ao foco é
e a distância de à diretriz é
Pela definição de parábola, impomos
raiz(x-3)^2+y^2=l|x+3r|
Passo 3
Quadrando ambos os lados,
(x-3)^2+y^2=(x+3)^2
Expandindo e simplificando:
x^2-6x+9+y^2 ;=;x^2+6x+9 Longrightarrow y^2=12x
Logo, a equação da parábola é
y^2=12x
Passo 4
Comparando com a forma padrão y^2=4p,x, temos 4p=12 e portanto p=3.
Vértice: V(0,0) (origem).
Foco: F(3,0) (confirmação).
Diretriz: x=-p=-3 (confirmação).
Eixo principal: a reta y=0.
Excentricidade: e=1 (típica de parábola).
Passo 5
Esboço do gráfico:
O eixo x-horizontal é a reta de simetria y=0.
A parábola abre para a direita, com vértice em (0,0) e foco em (3,0).
Alguns pontos notáveis: para x=3 tem-se y^2=36, isto é, (3,pm6).
A diretriz x=-3 fica à esquerda do vértice.
rcl &y& 8&uparrow& (3,8) 6& & 4& & 2& & 0&long<=ftarrow& V F longrightarrow x -2& & -4& & -6& & -8& & (3,-8)