Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Foco F(3,0) e diretriz r: x+3=0.

Passo 1

O enunciado pede a parábola cujo foco é F(3,0) e cuja diretriz é a reta r:,x+3=0. O conteúdo é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz. Para resolver, vamos usar a fórmula da distância de um ponto ao foco e de um ponto à reta.

Passo 2

Seja P(x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de P ao foco F(3,0) é
d(P,F)=raiz(x-3)^2+y^2,
e a distância de P à diretriz x+3=0 é
dl(P,rr)=l|x+3r|
Pela definição de parábola, impomos
raiz(x-3)^2+y^2=l|x+3r|

Passo 3

Quadrando ambos os lados,
(x-3)^2+y^2=(x+3)^2
Expandindo e simplificando:
x^2-6x+9+y^2 ;=;x^2+6x+9 Longrightarrow y^2=12x
Logo, a equação da parábola é
y^2=12x

Passo 4

Comparando com a forma padrão y^2=4p,x, temos 4p=12 e portanto p=3.
  • Vértice: V(0,0) (origem).
  • Foco: F(3,0) (confirmação).
  • Diretriz: x=-p=-3 (confirmação).
  • Eixo principal: a reta y=0.
  • Excentricidade: e=1 (típica de parábola).

Passo 5

Esboço do gráfico:
  • O eixo x-horizontal é a reta de simetria y=0.
  • A parábola abre para a direita, com vértice em (0,0) e foco em (3,0).
  • Alguns pontos notáveis: para x=3 tem-se y^2=36, isto é, (3,pm6).
  • A diretriz x=-3 fica à esquerda do vértice.
rcl &y& 8&uparrow& (3,8) 6& & 4& & 2& & 0&long<=ftarrow& V F longrightarrow x -2& & -4& & -6& & -8& & (3,-8)

Resposta

Equação: ,y^2=12x
Vértice: V(0,0).
Foco: F(3,0).
Diretriz: x=-3.
Eixo principal: y=0.
Excentricidade: e=1.

Exercícios relacionados