Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Foco F(-4,1) e diretriz r: y=3.

Passo 1

O enunciado dá o foco F(-4,1) e a diretriz rcolon y=3. Trata-se de uma parábola definida como o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância à reta diretriz. Como a diretriz é horizontal, o eixo principal da parábola é vertical e usaremos a forma canônica
(x-h)^2 ;=;4p,(y-k),
onde (h,k) é o vértice e p é a distância orientada do vértice ao foco.

Passo 2

Para achar o vértice (h,k) nota-se que ele fica exatamente no ponto médio entre o foco e a diretriz ao longo do eixo vertical. Assim,
h = -4 e k = 1 + 32 = 2
Logo o vértice é
V(-4,2)

Passo 3

A distância orientada p do vértice ao foco é a diferença de ordenadas:
p = 1 - 2 = -1
Substituindo em (x-h)^2 = 4p,(y-k) com h=-4, k=2 e 4p=-4, obtemos a equação da parábola:
(x+4)^2 = -4,(y - 2)
Em forma explícita,
y = 2 - (x+4)^24

Passo 4

Elementos principais:
  • Foco: F(-4,1) (dado).
  • Vértice: V(-4,2).
  • Excentricidade: e=1 (toda parábola tem e=1).
  • Eixo principal: reta vertical x=-4.
  • Diretriz: reta horizontal y=3 (dada).

Passo 5

Esboço do gráfico: a parábola é simétrica em relação a x=-4 e abre para baixo (pois p<0). Passa por pontos como, por exemplo, para y=1 temos
(x+4)^2 = -4,(1-2)=4 Longrightarrow x = -4pm 2,
ou seja, pelos pontos (-6,1) e (-2,1). O foco fica dentro da concavidade e a diretriz acima do vértice.

Resposta

Equação: (x+4)^2 = -4 (y - 2) .\nVértice: V(-4,2) .\nFoco: F(-4,1) .\nDiretriz: y=3 .\nEixo principal: x=-4 .\nExcentricidade: e=1 .\nEsboço: parábola de concavidade para baixo, vértice em (-4,2), passando por (-6,1) e (-2,1).

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