Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Foco
e diretriz
.
Foco
Passo 1
O enunciado dá o foco
e a diretriz
. Trata-se de uma parábola definida como o lugar geométrico dos pontos cuja distância ao foco é igual à distância à reta diretriz. Como a diretriz é horizontal, o eixo principal da parábola é vertical e usaremos a forma canônica
onde
é o vértice e
é a distância orientada do vértice ao foco.
Passo 2
Para achar o vértice
nota-se que ele fica exatamente no ponto médio entre o foco e a diretriz ao longo do eixo vertical. Assim,
Logo o vértice é
Passo 3
A distância orientada
do vértice ao foco é a diferença de ordenadas:
Substituindo em
com
,
e
, obtemos a equação da parábola:
Em forma explícita,
Passo 4
Elementos principais:
- Foco:
(dado). - Vértice:
. - Excentricidade:
(toda parábola tem ). - Eixo principal: reta vertical
. - Diretriz: reta horizontal
(dada).
Passo 5
Esboço do gráfico: a parábola é simétrica em relação a
e abre para baixo (pois
). Passa por pontos como, por exemplo, para
temos
ou seja, pelos pontos
e
. O foco fica dentro da concavidade e a diretriz acima do vértice.
Resposta
Equação:
.\nVértice:
.\nFoco:
.\nDiretriz:
.\nEixo principal:
.\nExcentricidade:
.\nEsboço: parábola de concavidade para baixo, vértice em
, passando por
e
.