Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Foco F(0,0) e diretriz r: x+y=2.

Passo 1

O enunciado pede a parábola cuja definição é
a distância de um ponto P(x,y) ao foco F(0,0) ser igual à distância de P à reta diretora rcolon x+y=2.
Para resolver precisamos usar as fórmulas de distância ponto-ponto e ponto-reta e depois simplificar para obter a equação em x,y.

Passo 2

A distância de P ao foco é
raizx^2+y^2
e a distância de P à reta x+y-2=0 é
l|x+y-2r|raiz1^2+1^2=l|x+y-2r|raiz2
Pela definição da parábola:
raizx^2+y^2=l|x+y-2r|raiz2
Elevando ao quadrado e multiplicando por 2:
2(x^2+y^2)=(x+y-2)^2
2x^2+2y^2=x^2+2xy+y^2-4x-4y+4
x^2+y^2-2xy+4x+4y-4=0

Passo 3

O eixo da parábola é a reta perpendicular à diretora e passando pelo foco.
A reta x+y=2 tem vetor normal (1,1),
logo o eixo é a reta que passa por (0,0) com direção (1,1), isto é
eixo: y=x

Passo 4

O vértice V é o ponto médio entre o foco e o pé da perpendicular do foco sobre a diretora.
O pé H da perpendicular de F(0,0) em x+y=2 é
H=(1,1)
Assim
V=F+H2=l(tfrac12,tfrac12r)

Passo 5

A excentricidade de toda parábola vale
e=1

Passo 6

Resumindo os principais elementos:
Foco: (0,0)
Vértice: l(tfrac12,tfrac12r)
Eixo: reta y=x
Diretriz: reta x+y=2
Excentricidade: e=1
Equação cartesiana:
x^2+y^2-2xy+4x+4y-4=0

Resposta

Equação:
x^2+y^2-2xy+4x+4y-4=0
Foco: (0,0)
Vértice: l(tfrac12,tfrac12r)
Eixo: reta y=x
Diretriz: reta x+y=2
Excentricidade: 1
Esboço: parabola de eixo na reta y=x, vértice em l(tfrac12,tfrac12r), abrindo para o semiplano x+y<2, conforme a posição do foco.

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