Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Foco e diretriz .
Passo 1
O enunciado pede a parábola cuja definição é
a distância de um ponto ao foco ser igual à distância de à reta diretora .
Para resolver precisamos usar as fórmulas de distância ponto-ponto e ponto-reta e depois simplificar para obter a equação em .
Passo 2
A distância de ao foco é
e a distância de à reta é
Pela definição da parábola:
raizx^2+y^2=l|x+y-2r|raiz2
Elevando ao quadrado e multiplicando por 2:
2(x^2+y^2)=(x+y-2)^2
2x^2+2y^2=x^2+2xy+y^2-4x-4y+4
x^2+y^2-2xy+4x+4y-4=0
Passo 3
O eixo da parábola é a reta perpendicular à diretora e passando pelo foco.
A reta x+y=2 tem vetor normal (1,1),
logo o eixo é a reta que passa por (0,0) com direção (1,1), isto é
eixo: y=x
Passo 4
O vértice V é o ponto médio entre o foco e o pé da perpendicular do foco sobre a diretora.
O pé H da perpendicular de F(0,0) em x+y=2 é
H=(1,1)
Assim
V=F+H2=l(tfrac12,tfrac12r)
Passo 5
A excentricidade de toda parábola vale
e=1
Passo 6
Resumindo os principais elementos:
Foco: (0,0)
Vértice: l(tfrac12,tfrac12r)
Eixo: reta y=x
Diretriz: reta x+y=2
Excentricidade: e=1
Equação cartesiana: