Encontre a equação, os elementos principais (foco, vértice, excentricidade, eixo e diretriz) e esboce o gráfico da parábola caracterizada por:
Vértice V(4,-1), eixo focal r: y=-1 e passa no ponto P(3,-3).

Passo 1

O enunciado dá uma parábola com vértice V(4,-1), eixo focal na reta rcolon y=-1 e que passa pelo ponto P(3,-3). Vamos usar a forma canônica de uma parábola com eixo horizontal e ajustar o parâmetro p de modo que P satisfaça a equação.

Passo 2

Para uma parábola com vértice (h,k) e eixo horizontal, a forma canônica é
(y - k)^2 ;=; 4p,(x - h),
onde p é a distância orientada do vértice ao foco (positiva para abrir à direita e negativa para abrir à esquerda). Aqui h=4 e k=-1.

Passo 3

Como P(3,-3) pertence à parábola, substituímos x=3, y=-3, h=4, k=-1 na forma canônica e resolvemos para p:
(-3 - (-1))^2 ;=;4p,(3 - 4)
(-2)^2 = 4pcdot(-1)
4 = -4p
p = -1

Passo 4

Substituindo h=4, k=-1 e p=-1 obtemos a equação da parábola:
(y + 1)^2 = -4,(x - 4)

Passo 5

  • Foco: (h+p,,k)=(4-1,,-1)=(3,-1).
  • Diretriz: reta vertical
x = h - p = 4 - (-1) = 5
  • Eixo de simetria: reta y=-1.
  • Excentricidade de qualquer parábola: e = 1.

Passo 6

Esboço: marque o vértice em (4,-1), o foco em (3,-1) e trace a diretriz vertical x=5. Como p<0, a parábola abre para a esquerda, simétrica em relação a y=-1.

Resposta

Equação: (y + 1)^2 = -4(x - 4)
Vértice: (4,-1)
Foco: (3,-1)
Diretriz: x = 5
Eixo: y = -1
Excentricidade: 1

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