Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos e assíntotas) e esboce o gráfico da hipérbole caracterizada por:
Vértices em
e excentricidade
.
Vértices em
Passo 1
O enunciado nos dá os vértices
e
de uma hipérbole com excentricidade
. O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos encontrar a equação da hipérbole, seu centro, vértices, focos, semi-eixos, excentricidade, e as assíntotas, e por fim esboçar o gráfico.
Passo 2
Como os vértices estão em
e
, o eixo transverso é vertical. O centro é o ponto médio:
A distância entre os vértices é
, então
Passo 3
A excentricidade satisfaz
onde
é a distância do centro a cada foco.
Passo 4
O semi-eixo conjugado
vem de
Como o eixo transverso é vertical, a forma canônica da hipérbole é
Passo 5
Os focos ficam a distância
acima e abaixo do centro, ou seja:
Passo 6
Os vértices já tínhamos:
O eixo transverso é a reta vertical
entre esses vértices (com comprimento
), e o eixo conjugado é a reta horizontal
de comprimento imaginário
.
Passo 7
As assíntotas de uma hipérbole com eixo vertical e centro
são
Substituindo
,
,
,
, obtemos
Resposta
Equação canônica:
Centro:
.
Vértices: e
.
Focos: e
.
Excentricidade: .
Semi-eixos: ,
.
Eixos principais: eixo transverso vertical , eixo conjugado horizontal
.
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Semi-eixos:
Eixos principais: eixo transverso vertical
Assíntotas:
Esboço: centro em
; desenhe vértices e focos acima e abaixo; trace as retas assíntotas e desenhe os dois ramos da hipérbole aproximando-as.