Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos e assíntotas) e esboce o gráfico da hipérbole caracterizada por:
Vértices em A1(2,-1), A2(2,7) e excentricidade e=3 / 2.

Passo 1

O enunciado nos dá os vértices (2,-1) e (2,7) de uma hipérbole com excentricidade e=3/2. O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos encontrar a equação da hipérbole, seu centro, vértices, focos, semi-eixos, excentricidade, e as assíntotas, e por fim esboçar o gráfico.

Passo 2

Como os vértices estão em (2,-1) e (2,7), o eixo transverso é vertical. O centro é o ponto médio:
l(h,kr) = l(tfrac2+22,;tfrac-1+72r) =(2,3)
A distância entre os vértices é 2a=8, então
a=4

Passo 3

A excentricidade satisfaz
e=ca=32 Longrightarrow c=a,e=4cdot32=6,
onde c é a distância do centro a cada foco.

Passo 4

O semi-eixo conjugado b vem de
c^2=a^2+b^2 Longrightarrow b^2=c^2-a^2=36-16=20
Como o eixo transverso é vertical, a forma canônica da hipérbole é
(y-3)^216;-;(x-2)^220=1

Passo 5

Os focos ficam a distância c=6 acima e abaixo do centro, ou seja:
F1 = (2,,3+6) = (2,9), F2 = (2,,3-6) = (2,-3)

Passo 6

Os vértices já tínhamos:
A1=(2,7), A2=(2,-1)
O eixo transverso é a reta vertical x=2 entre esses vértices (com comprimento 2a=8), e o eixo conjugado é a reta horizontal y=3 de comprimento imaginário 2b=2raiz20.

Passo 7

As assíntotas de uma hipérbole com eixo vertical e centro (h,k) são
y-k=pmab,(x-h)
Substituindo a=4, b=raiz20, h=2, k=3, obtemos
y-3=pm4raiz20,(x-2) Longrightarrow y-3=pm2raiz5,(x-2)

Resposta

Equação canônica:
(y-3)^216;-;(x-2)^220=1
Centro: (2,3).
Vértices: (2,7) e (2,-1).
Focos: (2,9) e (2,-3).
Excentricidade: e=3/2.
Semi-eixos: a=4, b=raiz20.
Eixos principais: eixo transverso vertical x=2, eixo conjugado horizontal y=3.
Assíntotas:
y-3=2raiz5,(x-2), y-3=-2raiz5,(x-2)
Esboço: centro em (2,3); desenhe vértices e focos acima e abaixo; trace as retas assíntotas e desenhe os dois ramos da hipérbole aproximando-as.

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