Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, excentricidade, centro, eixos e assíntotas) e esboce o gráfico da hipérbole caracterizada por:
Vértices em
, não corta o eixo
e tem assíntotas
.
Vértices em
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos vértices são
e
, que não corta o eixo
e cujas assíntotas são dadas por
. Vamos determinar o centro, os parâmetros
,
,
, a forma canônica, os focos, a excentricidade, os eixos e as assíntotas.
Passo 2
O centro
da hipérbole é o ponto médio de
e
.
Como os vértices ficam em
, a hipérbole é do tipo “vertical” e o semi-eixo transverso é
Passo 3
Para hipérbole vertical, as assíntotas têm equações
Como
e as retas são
, temos
. Substituindo
dá
Passo 4
A forma canônica da hipérbole vertical com centro na origem é
Substituindo
e
resulta
Passo 5
O parâmetro focal
satisfaz
logo
. Os focos são
Passo 6
A excentricidade é
Passo 7
Os eixos principais são:
eixo transverso vertical de comprimento
, ligando
a
.
eixo conjugado horizontal de comprimento
, centrado em
.
As assíntotas ficam
As assíntotas ficam
Passo 8
Esboço do gráfico: dois ramos simétricos em torno do eixo
, um acima do centro e outro abaixo, aproximando-se das retas
e
sem cruzá-las e sem interceptar o eixo
.
Resposta
Equação:
Centro:
Vértices: ,
Focos: ,
Excentricidade:
Eixo transverso: segmento vertical de comprimento
Eixo conjugado: segmento horizontal de comprimento
Assíntotas:
Gráfico: ramos abertos para cima e para baixo, tangenciando as assíntotas sem tocar o eixo .
Vértices:
Focos:
Excentricidade:
Eixo transverso: segmento vertical de comprimento
Eixo conjugado: segmento horizontal de comprimento
Assíntotas:
Gráfico: ramos abertos para cima e para baixo, tangenciando as assíntotas sem tocar o eixo