Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
Dois vértices em A_{1}(3,-4) e A_{2}(-3,4) e distância focal igual a 4 .

Passo 1

O enunciado pede a elipse que tem dois vértices em A_{1}(3,-4) e A_{2}(-3,4) e cuja distância entre os focos (ou distância focal) é 4.
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos encontrar o centro como ponto médio, o semi-eixo maior a, o semi-eixo focal c, o semi-eixo menor b, as coordenadas dos focos e co-vértices, e depois montar a equação geral (rotacionada) da elipse e indicar os eixos principais para esboçar o gráfico.

Passo 2

Centro e semi-eixo maior a.
O centro C é o ponto médio de A_{1} e A_{2}:
C\bigl(\tfrac{3+(-3)}{2},\,\tfrac{-4+4}{2}\bigr)=(0,0).
A distância do centro a cada vértice é
a = \sqrt{(3-0)^{2}+(-4-0)^{2}} =\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.

Passo 3

Semi-eixo focal c e semi-eixo menor b.
Como a distância focal total 2c=4, segue que
c=2.
No triângulo retângulo que define a elipse vale b^2 = a^2 - c^2, logo
b = \sqrt{a^{2}-c^{2}} =\sqrt{25-4} =\sqrt{21}.

Passo 4

Coordenadas dos focos e dos co-vértices.
A direção do eixo maior é a reta que liga C a A_{1}, ou seja, o vetor (3,-4). O vetor unitário nessa direção é
\vec u = \frac{1}{5}(3,-4).
Então os focos são
F_{1,2} = C \pm c\,\vec u =\pm 2\cdot\tfrac{1}{5}(3,-4) =\bigl(\tfrac{6}{5},-\tfrac{8}{5}\bigr) \text{ e } \bigl(-\tfrac{6}{5},\tfrac{8}{5}\bigr).
O eixo menor é perpendicular ao maior; um vetor perpendicular a (3,-4) é (4,3), cujo unitário é \tfrac{1}{5}(4,3). Assim os co-vértices são
C \pm b\,\tfrac{1}{5}(4,3) =\pm \sqrt{21}\,\tfrac{1}{5}(4,3) =\Bigl(\tfrac{4\sqrt{21}}{5},\tfrac{3\sqrt{21}}{5}\Bigr) \text{ e } \Bigl(-\tfrac{4\sqrt{21}}{5},-\tfrac{3\sqrt{21}}{5}\Bigr).

Passo 5

Equação da elipse em coordenadas x,y.
Sabendo que o eixo maior faz ângulo \theta com o eixo x, onde
\cos\theta=\tfrac{3}{5},\quad \sin\theta=-\tfrac{4}{5},
a forma geral rotacionada é
\frac{(x\cos\theta+y\sin\theta)^{2}}{a^{2}} +\frac{(-x\sin\theta+y\cos\theta)^{2}}{b^{2}} =1.
Substituindo \cos\theta, \sin\theta, a^{2}=25 e b^{2}=21, obtemos
\frac{\bigl(\tfrac{3x-4y}{5}\bigr)^{2}}{25} +\frac{\bigl(\tfrac{4x+3y}{5}\bigr)^{2}}{21} =1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(3x-4y)^{2}}{625} +\frac{(4x+3y)^{2}}{525} =1.

Passo 6

Eixos e esboço do gráfico.
O eixo maior é a reta que passa por C na direção (3,-4), cujo equação é
y = -\,x.
O eixo menor é perpendicular a ele, direção (4,3), equação
y = \tfrac{3}{4}\,x.
Para esboçar, marque o centro em (0,0), os vértices principais em (3,-4) e (-3,4), os co-vértices em \bigl(\tfrac{4\sqrt{21}}{5},\tfrac{3\sqrt{21}}{5}\bigr) e simétrico, e trace a curva suave que passa por esses pontos, alongada ao longo de y=-x.

Resposta

Centro: (0,0)
Vértices maiores: A_{1}(3,-4), A_{2}(-3,4)
Co-vértices: \bigl(\tfrac{4\sqrt{21}}{5},\tfrac{3\sqrt{21}}{5}\bigr) e \bigl(-\tfrac{4\sqrt{21}}{5},-\tfrac{3\sqrt{21}}{5}\bigr)
Focos: \bigl(\tfrac{6}{5},-\tfrac{8}{5}\bigr) e \bigl(-\tfrac{6}{5},\tfrac{8}{5}\bigr)
Equação:
\frac{(3x-4y)^{2}}{625} +\frac{(4x+3y)^{2}}{525} =1.
Eixo maior: y=-x
Eixo menor: y=\tfrac{3}{4}x
Esboço: elipse de semi-eixo maior a=5 ao longo de y=-x e semi-eixo menor b=\sqrt{21} ao longo de y=\tfrac{3}{4}x.

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