Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
Dois vértices em
e
e distância focal igual a 4 .
Dois vértices em
Passo 1
O enunciado pede a elipse que tem dois vértices em
e
e cuja distância entre os focos (ou distância focal) é
.
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos encontrar o centro como ponto médio, o semi-eixo maior , o semi-eixo focal
, o semi-eixo menor
, as coordenadas dos focos e co-vértices, e depois montar a equação geral (rotacionada) da elipse e indicar os eixos principais para esboçar o gráfico.
O conteúdo é geometria analítica de cônicas: vamos encontrar o centro como ponto médio, o semi-eixo maior
Passo 2
Centro e semi-eixo maior
.
O centro é o ponto médio de
e
:
O centro
A distância do centro a cada vértice é
Passo 3
Semi-eixo focal
e semi-eixo menor
.
Como a distância focal total , segue que
Como a distância focal total
No triângulo retângulo que define a elipse vale
, logo
Passo 4
Coordenadas dos focos e dos co-vértices.
A direção do eixo maior é a reta que liga a
, ou seja, o vetor
. O vetor unitário nessa direção é
A direção do eixo maior é a reta que liga
Então os focos são
O eixo menor é perpendicular ao maior; um vetor perpendicular a
é
, cujo unitário é
. Assim os co-vértices são
Passo 5
Equação da elipse em coordenadas
.
Sabendo que o eixo maior faz ângulo com o eixo
, onde
Sabendo que o eixo maior faz ângulo
a forma geral rotacionada é
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 6
Eixos e esboço do gráfico.
O eixo maior é a reta que passa por na direção
, cujo equação é
O eixo maior é a reta que passa por
O eixo menor é perpendicular a ele, direção
, equação
Para esboçar, marque o centro em
, os vértices principais em
e
, os co-vértices em
e simétrico, e trace a curva suave que passa por esses pontos, alongada ao longo de
.
Resposta
Centro:
Vértices maiores: ,
Co-vértices: e
Focos: e
Equação:
Vértices maiores:
Co-vértices:
Focos:
Equação:
Eixo maior:
Eixo menor:
Esboço: elipse de semi-eixo maior ao longo de
e semi-eixo menor
ao longo de
.
Eixo menor:
Esboço: elipse de semi-eixo maior