Encontre a equação, os elementos principais (focos, vértices, centro e eixos) e esboce o gráfico da elipse caracterizada por:
Centro C(2,-1) e passa nos pontos A(-3,1) e B(2,3).

Passo 1

O enunciado pede uma elipse de centro C(2,-1) que passa pelos pontos A(-3,1) e B(2,3). Precisamos achar a sua equação na forma
\frac{(x-2)^2}{a^2} + \frac{(y+1)^2}{b^2} = 1,
identificar quais são a e b, ver se o eixo maior é horizontal ou vertical, então determinar vértices, focos e finalmente esboçar o gráfico.

Passo 2

Como B(2,3) está na elipse e tem x=2, na equação fica \frac{0}{a^2} + \frac{(3+1)^2}{b^2}=1. Logo,
\frac{16}{b^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 16,
portanto o semi-eixo correspondente mede b = 4.

Passo 3

Agora usamos A(-3,1). Substituindo em
\frac{(-3-2)^2}{a^2} + \frac{(1+1)^2}{16} = 1
\frac{25}{a^2} + \frac{4}{16} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{a^2} + \tfrac14 = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{25}{a^2} = \tfrac34 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{100}{3}.

Passo 4

Assim a equação da elipse é
\frac{(x-2)^2}{\tfrac{100}{3}} \;+\;\frac{(y+1)^2}{16} \;=\;1.

Passo 5

Note que
a^2 = \tfrac{100}{3}\approx33{,}3 \;>\; b^2 = 16,
logo o semi-eixo maior tem comprimento a e fica na direção horizontal. O semi-eixo menor b é vertical.

Passo 6

Vértices no eixo maior (horizontal) são
C \pm (a,0) = \bigl(2\pm\tfrac{10}{\sqrt3},\,-1\bigr).
Vértices no eixo menor (vertical) são
C \pm (0,b) = (2,\,-1\pm4) \;\Longrightarrow\; (2,3)\text{ e }(2,-5).

Passo 7

A distância focal c satisfaz c^2 = a^2 - b^2 = \tfrac{100}{3}-16 = \tfrac{52}{3}, então
c = \sqrt{\tfrac{52}{3}}.
Os focos são
\bigl(2\pm \sqrt{\tfrac{52}{3}},\,-1\bigr).

Passo 8

Esboço do gráfico: center em (2,-1), eixo maior horizontal de semi-comprimento 10/\sqrt3\approx5{,}77, eixo menor vertical de semi-comprimento 4. Vértices em \bigl(2\pm5{,}77,\,-1\bigr) e (2,3), (2,-5). Focos próximos a \bigl(2\pm4{,}16,\,-1\bigr).

Resposta

Equação:
\frac{(x-2)^2}{\tfrac{100}{3}} + \frac{(y+1)^2}{16} = 1.
Centro: C(2,-1).
Semi-eixos: a = \tfrac{10}{\sqrt3} (horizontal), b = 4 (vertical).
Vértices:
\bigl(2+\tfrac{10}{\sqrt3},\,-1\bigr), \bigl(2-\tfrac{10}{\sqrt3},\,-1\bigr), (2,3), (2,-5).
Focos:
\bigl(2\pm \sqrt{\tfrac{52}{3}},\,-1\bigr).
Eixo maior: reta y=-1 entre x=2-\tfrac{10}{\sqrt3} e x=2+\tfrac{10}{\sqrt3}.
Eixo menor: reta x=2 entre y=-5 e y=3.
Esboço: elipse centrada em (2,-1) com esses vértices e focos conforme descrito acima.

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