Encontre a equação da hipérbole em cada caso:
Com focos em (0,-2) e (0,2) de modo que a=b.

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole cujos focos são (0,-2) e (0,2) e tal que o semi-eixo real a seja igual ao semi-eixo imaginário b. Vamos usar o conteúdo de hipérboles centradas na origem com eixos alinhados aos eixos coordenados: forma canônica, identificação de c a partir dos focos e a relação
c^2 = a^2 + b^2.

Passo 2

Como os focos estão em (0,-2) e (0,2), o centro da hipérbole é o ponto médio (0,0) e a distância focal é
2c = 4 \quad\Longrightarrow\quad c = 2.

Passo 3

Pela condição a=b, a relação c^2 = a^2 + b^2 vira
c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = \frac{c^2}{2} = \frac{4}{2} = 2.
Logo a^2 = b^2 = 2.

Passo 4

Como os focos estão sobre o eixo y, a forma padrão da hipérbole é
\frac{y^2}{a^2} \;-\;\frac{x^2}{b^2} \;=\;1
Substituindo a^2=b^2=2, obtemos
\frac{y^2}{2} \;-\;\frac{x^2}{2} \;=\;1,
que, multiplicando por 2, dá
y^2 \;-\; x^2 \;=\;2.

Resposta

\frac{y^2}{2} \;-\;\frac{x^2}{2} \;=\;1 \quad\text{ou, equivalentemente,}\quad y^2 - x^2 = 2.

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