Dê os limites de integração, em coordenadas cilíndricas, para integrar
sobre a região
:
limitada por
.
limitada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas para integrar a função
sobre a região
que está limitada pela esfera
. Isso envolve entender como transformar as coordenadas cartesianas para cilíndricas e identificar os intervalos para cada variável nessa nova coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto ao eixo , -
é o ângulo em torno do eixo , -
é a altura do ponto.
A equação da esfera
em coordenadas cilíndricas fica
.
Passo 3
Vamos determinar os limites para cada variável:
-
: Como a esfera é simétrica em torno do eixo , o ângulo varia de a radianos para cobrir toda a rotação completa. -
: Para cada valor de , a distância do ponto ao eixo varia de até a interseção da esfera com aquele plano horizontal específico. Isso significa que vai de até . -
: A variável varia desde a base inferior da esfera até o topo. Como a esfera tem raio 1, vai de a .
Passo 4
Resumindo, os limites de integração em coordenadas cilíndricas para a região
são:
-
varia de a , -
varia de a , -
varia de a .
Resposta
Os limites de integração em coordenadas cilíndricas são: