Dê os limites de integração, em coordenadas cilíndricas, para integrar f(x, y, z) sobre a região E:
limitada por x^2+y^2+z^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer determinar os limites de integração em coordenadas cilíndricas para integrar a função sobre a região que está limitada pela esfera . Isso envolve entender como transformar as coordenadas cartesianas para cilíndricas e identificar os intervalos para cada variável nessa nova coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
  • é a distância do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura do ponto.
A equação da esfera em coordenadas cilíndricas fica .

Passo 3

Vamos determinar os limites para cada variável:
  1. : Como a esfera é simétrica em torno do eixo , o ângulo varia de a radianos para cobrir toda a rotação completa.
  2. : Para cada valor de , a distância do ponto ao eixo varia de até a interseção da esfera com aquele plano horizontal específico. Isso significa que vai de até .
  3. : A variável varia desde a base inferior da esfera até o topo. Como a esfera tem raio 1, vai de a .

Passo 4

Resumindo, os limites de integração em coordenadas cilíndricas para a região são:
  • varia de a ,
  • varia de a ,
  • varia de a .

Resposta

Os limites de integração em coordenadas cilíndricas são:
0 <= theta <= 2pi, 0 <= r <= raiz1 - z^2, -1 <= z <= 1

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