Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não-focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas e faça o esboço da hipérbole, onde:
Passo 1
O enunciado nos dá a hipérbole
e pede a forma canônica, centro, vértices, vértices imaginários, focos, excentricidade, reta focal, reta não-focal, assíntotas e esboço. Vamos usar a definição padrão de hipérbole com eixo transverso horizontal.
Passo 2
Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma canônica:
Dessa forma
e
, logo
Passo 3
O centro da hipérbole é o ponto médio dos vértices, que aqui está em
Os vértices ao longo do eixo transverso (horizontal) são
Os vértices ``imaginários'', isto é, da hipérbole conjugada, ficam no eixo não-transverso (vertical):
Para os focos calculamos
logo os focos são
Passo 4
A reta que passa pelos focos e pelos vértices reais é o eixo principal ou reta focal, dada por
A reta perpendicular a ela, que passa pelos vértices imaginários, é o eixo secundário ou reta não-focal, dada por
Passo 5
A excentricidade é
Passo 6
As assíntotas de uma hipérbole com centro na origem e eixos alinhados são
portanto
Passo 7
Esboço: a hipérbole abre para a direita e para a esquerda, cruza o eixo
em
e se aproxima das retas
. Os focos estão em
no eixo
e o eixo não-focal é o eixo
.
Resposta
Equação canônica:
Centro:
Vértices:
Vértices imaginários:
Focos:
Excentricidade:
Reta focal (eixo principal):
Reta não-focal (eixo secundário):
Assíntotas:
Esboço: hiperbola aberta à esquerda e à direita, aproximando-se das assíntotas dadas.
Vértices:
Vértices imaginários:
Focos:
Excentricidade:
Reta focal (eixo principal):
Reta não-focal (eixo secundário):
Assíntotas:
Esboço: hiperbola aberta à esquerda e à direita, aproximando-se das assíntotas dadas.