Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não-focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas e faça o esboço da hipérbole, onde:
4 x^2-45 y^2=180

Passo 1

O enunciado nos dá a hipérbole
4x^2-45y^2=180
e pede a forma canônica, centro, vértices, vértices imaginários, focos, excentricidade, reta focal, reta não-focal, assíntotas e esboço. Vamos usar a definição padrão de hipérbole com eixo transverso horizontal.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por 180 obtemos a forma canônica:
x^245 ;-;y^24 ;=;1
Dessa forma a^2=45 e b^2=4, logo
a=raiz45=3raiz5, b=raiz4=2

Passo 3

O centro da hipérbole é o ponto médio dos vértices, que aqui está em
(0,0)
Os vértices ao longo do eixo transverso (horizontal) são
(pm a,0) = (pm3raiz5,0)
Os vértices ``imaginários'', isto é, da hipérbole conjugada, ficam no eixo não-transverso (vertical):
(0,pm b) = (0,pm2)
Para os focos calculamos
c^2 = a^2 + b^2 = 45 + 4 =49, c=7,
logo os focos são
(pm7,0)

Passo 4

A reta que passa pelos focos e pelos vértices reais é o eixo principal ou reta focal, dada por
y=0
A reta perpendicular a ela, que passa pelos vértices imaginários, é o eixo secundário ou reta não-focal, dada por
x=0

Passo 5

A excentricidade é
e=ca=73raiz5=7raiz515

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole com centro na origem e eixos alinhados são
y=pmba,x
portanto
y=pm23raiz5,x Long<=ftrightarrow y=pm2raiz515,x

Passo 7

Esboço: a hipérbole abre para a direita e para a esquerda, cruza o eixo x em pm3raiz5 e se aproxima das retas y=pmtfrac2raiz515x. Os focos estão em pm7 no eixo x e o eixo não-focal é o eixo y.

Resposta

Equação canônica:
x^245-y^24=1
Centro: (0,0)
Vértices: (pm3raiz5,0)
Vértices imaginários: (0,pm2)
Focos: (pm7,0)
Excentricidade: e=tfrac7raiz515
Reta focal (eixo principal): y=0
Reta não-focal (eixo secundário): x=0
Assíntotas: y=pmtfrac2raiz515x
Esboço: hiperbola aberta à esquerda e à direita, aproximando-se das assíntotas dadas.

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