Exercício 7.5 Em cada um dos casos abaixo, encontre uma base do espaço vetorial V contida no conjunto S.
V=R^3, S=(1,0,-1),(2,1,1).

Passo 1

O enunciado pede uma base de V contida em S. Aqui
V = R^3,
logo dim(V)=3, e
S = ,(1,0,-1),,(2,1,1)
Para uma base de V precisamos de 3 vetores linearmente independentes que gerem todo R^3.

Passo 2

Vamos verificar se os vetores de S são linearmente independentes. Suponha
a,(1,0,-1)+b,(2,1,1)=(0,0,0)
Isso gera o sistema
a+2b=0, b=0, -a+b=0
Da segunda equação segue b=0. Substituindo na primeira dá a=0. Logo os vetores são independentes e dim(span,S)=2.

Passo 3

Como S tem apenas dois vetores independentes, não é possível extrair 3 vetores de S. Portanto não existe subconjunto de S que seja base de R^3.

Resposta

Não existe base de V contida em S.

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