Assinale as afirmações como verdadeiras ou falsas:
(a) Cada reta possui apenas um vetor diretor.
(b) As equações
(x, y, z)=(1,1,0)+lambda(-2,0,1)
e
(x, y, z)=(-1,1,1)+lambda(2,0,-1)
representam a mesma reta.
(c) As equações
2 x-13=1-y2=z+1
descrevem uma reta, embora não são as equações simétricas.
(d) As equações
3 x-y=z+1 e 6 x=2 y+2 z+2
embora não estejam na forma da equação geral representam o mesmo plano.
(a)
(b)
(c)
(d)

Passo 1

O enunciado pede para avaliar quatro afirmações sobre retas e planos no espaço. Vamos usar conceitos de forma paramétrica de reta, vetor diretor, forma simétrica de reta e forma geral de plano.

Passo 2

Para (a) lembramos que um vetor diretor de reta é qualquer vetor não-nulo paralelo à reta. Se v é diretor, então alpha,v com alphaneq0 também é diretor. Logo, não há “apenas um” vetor diretor, mas sim infinita família de vetores escalares. Portanto, (a) é falsa.

Passo 3

Na (b) as duas retas estão dadas por
r1=(1,1,0)+lambda(-2,0,1),
r2=(-1,1,1)+mu(2,0,-1)
Note que (2,0,-1)=-1cdot(-2,0,1), então os vetores diretores são colineares. Basta verificar que um ponto de r2 também pertence a r1. Igualando coordenadas e resolvendo por lambda e mu, achamos soluções consistentes. Logo, é a mesma reta. Assim, (b) é verdadeira.

Passo 4

Na (c) temos
2x-13=1-y2=z+1
Isso equivale a interseção de dois planos e gera uma reta. Bastaria definir o parâmetro t igual a esse valor comum e obter
x=1+3t2, y=1-2t, z=t-1,
que é forma paramétrica de reta. Esses não são exatamente os denominadores de (x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c na forma simétrica clássica, mas de qualquer modo definem uma reta. Logo, (c) é verdadeira.

Passo 5

Na (d) as duas equações são
3x - y = z + 1 Longrightarrow 3x - y - z = 1,
6x = 2y + 2z + 2 Longrightarrow 6x -2y -2z = 2 Longrightarrow 3x - y - z = 1
Ambas reduzem ao mesmo plano 3x - y - z = 1. Portanto, (d) é verdadeira.

Resposta

(a) F
(b) V
(c) V
(d) V

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