Assinale as afirmações como verdadeiras ou falsas:
(a) Cada reta possui apenas um vetor diretor.
(b) As equações
e
representam a mesma reta.
(c) As equações
descrevem uma reta, embora não são as equações simétricas.
(d) As equações
embora não estejam na forma da equação geral representam o mesmo plano.
(a)
(b)
(c)
(d)
(a) Cada reta possui apenas um vetor diretor.
(b) As equações
(c) As equações
(d) As equações
(a)
Passo 1
O enunciado pede para avaliar quatro afirmações sobre retas e planos no espaço. Vamos usar conceitos de forma paramétrica de reta, vetor diretor, forma simétrica de reta e forma geral de plano.
Passo 2
Para (a) lembramos que um vetor diretor de reta é qualquer vetor não-nulo paralelo à reta. Se
é diretor, então
com
também é diretor. Logo, não há “apenas um” vetor diretor, mas sim infinita família de vetores escalares. Portanto, (a) é falsa.
Passo 3
Na (b) as duas retas estão dadas por
Note que
, então os vetores diretores são colineares. Basta verificar que um ponto de
também pertence a
. Igualando coordenadas e resolvendo por
e
, achamos soluções consistentes. Logo, é a mesma reta. Assim, (b) é verdadeira.
Passo 4
Na (c) temos
Isso equivale a interseção de dois planos e gera uma reta. Bastaria definir o parâmetro
igual a esse valor comum e obter
que é forma paramétrica de reta. Esses não são exatamente os denominadores de
na forma simétrica clássica, mas de qualquer modo definem uma reta. Logo, (c) é verdadeira.
Passo 5
Na (d) as duas equações são
Ambas reduzem ao mesmo plano
. Portanto, (d) é verdadeira.
Resposta
(a) F
(b) V
(c) V
(d) V
(b) V
(c) V
(d) V