Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não-focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas e faça o esboço da hipérbole, onde:
9 x^2-16 y^2-36 x-32 y-124=0

Passo 1

O enunciado dá a curva de segundo grau
9x^2-16y^2-36x-32y-124=0
e pede todos os elementos de uma hipérbole: forma canônica, centro, vértices, focos, retas focal e não-focal, vértices imaginários, excentricidade, assíntotas e o esboço. Vamos usar conclusão de quadrados para passar à forma canônica.

Passo 2

Agrupando termos em x e em y e completando quadrados:
9l(x^2-4xr)-16l(y^2+2yr)-124=0
Como
x^2-4x=(x-2)^2-4, y^2+2y=(y+1)^2-1,
temos
9l((x-2)^2-4r) -16l((y+1)^2-1r) -124=0
9(x-2)^2-36-16(y+1)^2+16-124=0 ;Longrightarrow; 9(x-2)^2-16(y+1)^2=144
Dividindo por 144, obtém-se a forma canônica:
(x-2)^216-(y+1)^29=1

Passo 3

Da forma
(x-2)^2a^2-(y+1)^2b^2=1
vemos que a^2=16 e b^2=9, logo a=4, b=3. O centro é (h,k)=(2,-1).

Passo 4

Calculamos c pela relação
c^2=a^2+b^2=16+9=25, c=5
Os vértices (sobre o eixo transverso horizontal) são
(hpm a,;k)=(2pm4,,-1);Longrightarrow;(6,-1);e;(-2,-1)
Os focos são
(hpm c,;k)=(2pm5,,-1);Longrightarrow;(7,-1);e;(-3,-1)
Os vértices imaginários (sobre o eixo conjugado vertical) são
(h,;kpm b)=(2,,-1pm3);Longrightarrow;(2,2);e;(2,-4)

Passo 5

A excentricidade é
e=ca=54

Passo 6

A reta focal (eixo transverso) é
y=k;Longrightarrow;y=-1,
e a reta não-focal (eixo conjugado) é
x=h;Longrightarrow;x=2

Passo 7

As assíntotas de uma hipérbole na forma tfrac(x-h)^2a^2-tfrac(y-k)^2b^2=1 são
y-k=pmba,(x-h)
Aqui
y+1=pm34(x-2)

Passo 8

Esboço qualitativo: ramos abertos à esquerda e à direita do centro (2,-1), passando pelos vértices (6,-1) e (-2,-1) e aproximando-se das assíntotas y+1=pmtfrac34(x-2).

Resposta

Forma canônica:
(x-2)^216-(y+1)^29=1
Centro: (2,-1)
Vértices: (6,-1), (-2,-1)
Focos: (7,-1), (-3,-1)
Retas: focal y=-1, não-focal x=2
Vértices imaginários: (2,2), (2,-4)
Excentricidade: e=tfrac54
Assíntotas:
y+1=34(x-2), y+1=-34(x-2)

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