Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não-focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas e faça o esboço da hipérbole, onde:
Passo 1
O enunciado dá a curva de segundo grau
e pede todos os elementos de uma hipérbole: forma canônica, centro, vértices, focos, retas focal e não-focal, vértices imaginários, excentricidade, assíntotas e o esboço. Vamos usar conclusão de quadrados para passar à forma canônica.
Passo 2
Agrupando termos em
e em
e completando quadrados:
Como
temos
Dividindo por
, obtém-se a forma canônica:
Passo 3
Da forma
vemos que
e
, logo
,
. O centro é
.
Passo 4
Calculamos
pela relação
Os vértices (sobre o eixo transverso horizontal) são
Os focos são
Os vértices imaginários (sobre o eixo conjugado vertical) são
Passo 5
A excentricidade é
Passo 6
A reta focal (eixo transverso) é
e a reta não-focal (eixo conjugado) é
Passo 7
As assíntotas de uma hipérbole na forma
são
Aqui
Passo 8
Esboço qualitativo: ramos abertos à esquerda e à direita do centro
, passando pelos vértices
e
e aproximando-se das assíntotas
.
Resposta
Forma canônica:
Centro:
Vértices: ,
Focos: ,
Retas: focal , não-focal
Vértices imaginários: ,
Excentricidade:
Assíntotas:
Vértices:
Focos:
Retas: focal
Vértices imaginários:
Excentricidade:
Assíntotas: