Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não-focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas e faça o esboço da hipérbole, onde:
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede vários itens: forma canônica, vértices, centro, focos, reta focal, reta não-focal, vértices imaginários, excentricidade, assíntotas e esboço.
O conteúdo é geometria analítica de cônicas, usando “completar quadrados” para transformar em forma canônica e, a partir daí, identificar parâmetros ,
,
e linha dos eixos.
O conteúdo é geometria analítica de cônicas, usando “completar quadrados” para transformar em forma canônica e, a partir daí, identificar parâmetros
Passo 2
Vamos completar quadrados em
e
.
Escrevemos
Escrevemos
Completar quadrado:
Substituindo:
Dividindo por
:
Passo 3
Da forma
vemos que
O centro é .
O centro é
Passo 4
Vértices reais: centro mais/menos
ao longo do eixo transverse (horizontal):
Vértices imaginários: centro mais/menos
ao longo do eixo conjugado (vertical):
Passo 5
Calcular
e excentricidade.
Focos: centro mais/menos
no eixo transverse:
Passo 6
Retas principais (eixos da hipérbole):
reta focal (eixo transverse):
reta focal (eixo transverse):
reta não-focal (eixo conjugado):
Passo 7
Assíntotas da hipérbole: a partir da forma canônica,
Resposta
Equação canônica:
Centro:
.
Vértices reais: e
.
Vértices imaginários: e
.
Focos: e
.
Excentricidade: .
Reta focal (eixo transverse): .
Reta não-focal (eixo conjugado): .
Assíntotas:
Vértices reais:
Vértices imaginários:
Focos:
Excentricidade:
Reta focal (eixo transverse):
Reta não-focal (eixo conjugado):
Assíntotas:
Esboço:
Coloque o centro em , marque vértices em
e
, desenhe as assíntotas pelo centro com declive
e trace a hipérbole abrindo-se na horizontal.
Coloque o centro em