Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não-focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas e faça o esboço da hipérbole, onde:
3 x^2-4 y^2+12 x+8 y-4=0

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
3x^2-4y^2+12x+8y-4=0
e pede vários itens: forma canônica, vértices, centro, focos, reta focal, reta não-focal, vértices imaginários, excentricidade, assíntotas e esboço.
O conteúdo é geometria analítica de cônicas, usando “completar quadrados” para transformar em forma canônica e, a partir daí, identificar parâmetros a, b, c e linha dos eixos.

Passo 2

Vamos completar quadrados em x e y.
Escrevemos
3l(x^2+4xr)-4l(y^2-2yr)-4=0
Completar quadrado:
x^2+4x=(x+2)^2-4, y^2-2y=(y-1)^2-1
Substituindo:
3l((x+2)^2-4r)-4l((y-1)^2-1r)-4=0 ;Longrightarrow; 3(x+2)^2-12-4(y-1)^2+4-4=0
3(x+2)^2-4(y-1)^2-12=0 ;Longrightarrow; 3(x+2)^2-4(y-1)^2=12
Dividindo por 12:
(x+2)^24-(y-1)^23=1

Passo 3

Da forma
(x+2)^2a^2-(y-1)^2b^2=1
vemos que
;a^2=4implies a=2, b^2=3implies b=raiz3
O centro é l(-2,1r).

Passo 4

Vértices reais: centro mais/menos a ao longo do eixo transverse (horizontal):
(-2pm2,,1);Rightarrow;(0,1) e (-4,1)
Vértices imaginários: centro mais/menos b ao longo do eixo conjugado (vertical):
l(-2,,1pmraiz3r)

Passo 5

Calcular c e excentricidade.
c^2=a^2+b^2=4+3=7, c=raiz7, e=ca=raiz72
Focos: centro mais/menos c no eixo transverse:
(-2pmraiz7,,1)

Passo 6

Retas principais (eixos da hipérbole):
reta focal (eixo transverse):
y=1,
reta não-focal (eixo conjugado):
x=-2

Passo 7

Assíntotas da hipérbole: a partir da forma canônica,
y-1=pmba,(x+2) ;Longrightarrow; y-1=pmraiz32(x+2)

Resposta

Equação canônica:
(x+2)^24-(y-1)^23=1
Centro: (-2,1).
Vértices reais: (0,1) e (-4,1).
Vértices imaginários: l(-2,,1+raiz3r) e l(-2,,1-raiz3r).
Focos: l(-2+raiz7,,1r) e l(-2-raiz7,,1r).
Excentricidade: e=tfracraiz72.
Reta focal (eixo transverse): y=1.
Reta não-focal (eixo conjugado): x=-2.
Assíntotas:
y-1=raiz32(x+2), y-1=-raiz32(x+2)
Esboço:
Coloque o centro em (-2,1), marque vértices em (0,1) e (-4,1), desenhe as assíntotas pelo centro com declive pmraiz3/2 e trace a hipérbole abrindo-se na horizontal.

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