Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não-focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas e faça o esboço da hipérbole, onde:
49 y^2-16 x^2=784

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
49y^2-16x^2=784
e pede forma canônica, centro, vértices, focos, eixo focal, eixo não-focal, vértices imaginários, excentricidade, assíntotas e esboço. Vamos usar a definição padrão de hipérbole centrada em (0,0).

Passo 2

Dividimos a equação por 784 para obter a forma canônica:
49y^2784-16x^2784=1
ou seja,
y^216-x^249=1
Aqui o termo positivo é o de y^2, logo o eixo transverso é vertical, com
a^2=16, b^2=49

Passo 3

Das definições temos
a=raiz16=4, b=raiz49=7
O centro é (0,0).
Vértices reais (sobre o eixo y):
(0,pm a)=(0,4) e (0,-4)
Vértices imaginários (sobre o eixo x):
(pm b,0)=(7,0) e (-7,0)

Passo 4

O parâmetro focal c satisfaz
c^2=a^2+b^2=16+49=65,
logo c=raiz65.
Os focos, sobre o eixo y, são
(0,pm raiz65)
A excentricidade é
e=ca=raiz654

Passo 5

A reta focal (eixo transverso) é a reta que passa pelos focos, isto é
x=0
A reta não-focal (eixo conjugado) é
y=0

Passo 6

As assíntotas de uma hipérbole com eixo vertical são dadas por
y=pmab,x,
portanto
y=pm47,x

Passo 7

Esboço: a curva tem centro na origem, abre para cima e para baixo passando pelos vértices (0,4) e (0,-4), com focos em (0,pmraiz65). As assíntotas são retas passando pela origem com inclinação pm4/7. A reta x=0 é o eixo de simetria vertical, e y=0 o eixo horizontal auxiliar.

Resposta

Forma canônica:
y^216-x^249=1
Centro: (0,0)
Vértices: (0,4) e (0,-4)
Vértices imaginários: (7,0) e (-7,0)
Focos: l(0,raiz65r) e l(0,-raiz65r)
Excentricidade: e=dfracraiz654
Reta focal (eixo transverso): x=0
Reta não-focal (eixo conjugado): y=0
Assíntotas: y=pmdfrac47x

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