Encontre a equação na forma canônica, os vértices, o centro, os focos, a reta focal, a reta não-focal, os vértices imaginários, a excentricidade, as assíntotas e faça o esboço da hipérbole, onde:
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pede forma canônica, centro, vértices, focos, eixo focal, eixo não-focal, vértices imaginários, excentricidade, assíntotas e esboço. Vamos usar a definição padrão de hipérbole centrada em
.
Passo 2
Dividimos a equação por
para obter a forma canônica:
ou seja,
Aqui o termo positivo é o de
, logo o eixo transverso é vertical, com
Passo 3
Das definições temos
O centro é
.
Vértices reais (sobre o eixo ):
Vértices reais (sobre o eixo
Vértices imaginários (sobre o eixo
):
Passo 4
O parâmetro focal
satisfaz
logo
.
Os focos, sobre o eixo , são
Os focos, sobre o eixo
A excentricidade é
Passo 5
A reta focal (eixo transverso) é a reta que passa pelos focos, isto é
A reta não-focal (eixo conjugado) é
Passo 6
As assíntotas de uma hipérbole com eixo vertical são dadas por
portanto
Passo 7
Esboço: a curva tem centro na origem, abre para cima e para baixo passando pelos vértices
e
, com focos em
. As assíntotas são retas passando pela origem com inclinação
. A reta
é o eixo de simetria vertical, e
o eixo horizontal auxiliar.
Resposta
Forma canônica:
Centro:
Vértices: e
Vértices imaginários: e
Focos: e
Excentricidade:
Reta focal (eixo transverso):
Reta não-focal (eixo conjugado):
Assíntotas:
Vértices:
Vértices imaginários:
Focos:
Excentricidade:
Reta focal (eixo transverso):
Reta não-focal (eixo conjugado):
Assíntotas: