Encontre a equação geral de ondas para ondas que se propagam em uma dimensão.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a equação de ondas unidimensional, isto é, a relação entre a segunda derivada espacial e a segunda derivada temporal de uma perturbação u(x,t) que se propaga numa corda (ou meio contínuo) com velocidade v. Vamos usar Newton e o modelo de uma corda tensionada de densidade linear mu e tensão T.

Passo 2

Considere um pequeno elemento da corda de comprimento dx. Se u(x,t) é o deslocamento transversal em x e t, as forças verticais nas extremidades são
T;sintheta|x+dx ;-; T;sintheta|x,
onde para pequenos ângulos sinthetaapproxpartial u/partial x. Logo a resultante é
T;partial upartial x|x+dx-T;partial upartial x|x approx T,partial^2 upartial x^2,dx
Pela segunda lei de Newton essa força resulta na massa mu,dx vezes a aceleração partial^2 u/partial t^2, ou seja
T,partial^2 upartial x^2,dx =mu,dx;partial^2 upartial t^2
Cancelando dx e definindo a velocidade de onda
v=raizTmu,
obtemos a equação de ondas clássica
partial^2 upartial t^2 =v^2;partial^2 upartial x^2 Long<=ftrightarrow partial^2 upartial x^2 =1v^2;partial^2 upartial t^2

Passo 3

A solução geral dessa equação de ondas em 1D, conhecida como fórmula de d’Alembert, é a soma de duas ondas viajantes sem deformar sua forma:
u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt),
onde f e g são funções arbitrárias duas vezes deriváveis, determinadas pelas condições iniciais e de contorno.

Resposta

Equação de ondas em 1D:
partial^2 upartial t^2 = v^2;partial^2 upartial x^2
Solução geral (d’Alembert):
u(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt)

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