Encontre uma equação geral do plano que passa pelos pontos dados.
P(2,2,1), Q(0,3,4), R(1,-1,-3)

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos P(2,2,1), Q(0,3,4) e R(1,-1,-3).
O plano em R^3 pode ser escrito como
ax + by + cz + d = 0,
onde (a,b,c) é um vetor normal ao plano. Para encontrá-lo, vamos usar dois vetores diretores do plano e calcular seu produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos como vetores diretores do plano
PQ = Q - P = (0-2,;3-2,;4-1) = (-2,,1,,3),
PR = R - P = (1-2,;-1-2,;-3-1) = (-1,,-3,,-4)

Passo 3

O vetor normal n=(a,b,c) é dado pelo produto vetorial
n = PQtimesPR = i & j & k -2 & 1 & 3 -1 & -3 & -4 = (1cdot(-4)-3cdot(-3),;3cdot(-1)-(-2)cdot(-4),;-2cdot(-3)-1cdot(-1)),
que simplifica para
n = (5,,-11,,7)

Passo 4

Usamos a forma ponto-normal do plano, escolhendo o ponto P(2,2,1):
ncdotl((x,y,z)-(2,2,1)r)=0 Longrightarrow 5(x-2)-11(y-2)+7(z-1)=0
Expandindo, obtemos
5x-10 -11y+22 +7z-7 = 0 Longrightarrow 5x -11y +7z +5 = 0

Resposta

A equação geral do plano é
5x -11y +7z +5 = 0

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