Exercício 8. (1.2 Pontos)

Descreva a superfície que pode ser descrita em equações esféricas pela equação matemática
\rho=10 \cos (\theta) \operatorname{sen}(\varphi)
Além disso, descreva o menor intervalo de \rho, \theta e \varphi que mapeia os pontos da superfície em coordenadas esféricas unicamente sobre os pontos da superfície em coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado dá a superfície em coordenadas esféricas pela equação
\rho = 10 \cos(\theta)\,\operatorname{sen}(\varphi)
e pede (a) descrever essa superfície em coordenadas cartesianas e (b) indicar o menor intervalo em \rho,\theta,\varphi que cubra cada ponto dela uma única vez. Vamos usar as fórmulas de conversão
x = \rho\,\operatorname{sen}(\varphi)\cos(\theta),\quad y = \rho\,\operatorname{sen}(\varphi)\sin(\theta),\quad z = \rho\,\cos(\varphi).

Passo 2

Substituímos \rho na expressão de x:
x = \bigl(10\cos(\theta)\,\operatorname{sen}(\varphi)\bigr)\,\operatorname{sen}(\varphi)\cos(\theta) = 10\bigl(\cos(\theta)\,\operatorname{sen}(\varphi)\bigr)^2.
Mas note que \cos(\theta)\,\operatorname{sen}(\varphi)=\dfrac{x}{\rho}. Assim da definição \rho=10\,\dfrac{x}{\rho} segue
\rho^2 = 10x.

Passo 3

Como \rho^2 = x^2+y^2+z^2, a equação fica
x^2+y^2+z^2 = 10x,
que é a equação de uma esfera de centro (5,0,0) e raio 5.

Passo 4

Para que \rho=10\cos(\theta)\,\operatorname{sen}(\varphi) seja não negativa (e possamos tomar \rho\ge0), precisamos de
\cos(\theta)\,\operatorname{sen}(\varphi)\ge0.
Escolhendo \theta\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2] garante \cos(\theta)\ge0, e tomando \varphi\in[0,\pi] temos \operatorname{sen}(\varphi)\ge0. Assim cada ponto da esfera aparece exatamente uma vez para
\theta\in[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2],\quad \varphi\in[0,\pi],
e \rho é dado unicamente por \rho=10\cos(\theta)\,\operatorname{sen}(\varphi), cujo valor varia de 0 a 10.

Resposta

A superfície é a esfera
x^2+y^2+z^2=10x,
ou seja, centro em (5,0,0) e raio 5.
Um domínio de parâmetros que cobre-a uma única vez é
\theta\in\bigl[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr],\quad \varphi\in[0,\pi],
com \rho determinado por \rho=10\cos(\theta)\,\operatorname{sen}(\varphi).

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