Exercício 8. (1.2 Pontos)
Descreva a superfície que pode ser descrita em equações esféricas pela equação matemática
Além disso, descreva o menor intervalo de
,
e
que mapeia os pontos da superfície em coordenadas esféricas unicamente sobre os pontos da superfície em coordenadas cartesianas.
Passo 1
O enunciado dá a superfície em coordenadas esféricas pela equação
e pede (a) descrever essa superfície em coordenadas cartesianas e (b) indicar o menor intervalo em
que cubra cada ponto dela uma única vez. Vamos usar as fórmulas de conversão
Passo 2
Substituímos
na expressão de
:
Mas note que
. Assim da definição
segue
Passo 3
Como
, a equação fica
que é a equação de uma esfera de centro
e raio
.
Passo 4
Para que
seja não negativa (e possamos tomar
), precisamos de
Escolhendo
garante
, e tomando
temos
. Assim cada ponto da esfera aparece exatamente uma vez para
e
é dado unicamente por
, cujo valor varia de
a
.
Resposta
A superfície é a esfera
ou seja, centro em
e raio
.
Um domínio de parâmetros que cobre-a uma única vez é
Um domínio de parâmetros que cobre-a uma única vez é
com
determinado por
.