Exercício 7. (1.3 Pontos)
Descreva e esboce a quádrica cujos pontos pertencentes a ela satisfazem a equação
Passo 1
O enunciado dá a superfície de equação
e pede que a classifiquemos e esbocemos. O conteúdo aqui é a identificação de uma quádricas por meio de mudança de variáveis (completar o quadrado) para obtermos a forma canônica.
Passo 2
Isolamos
para ver claramente como a superfície depende de
e
:
Passo 3
Para completar o quadrado em
, fatoramos
das parcelas em
:
Passo 4
De modo semelhante, para
fatoramos
:
Substituindo em
:
Passo 5
Agrupando termos constantes:
Portanto, a forma canônica é
Isto mostra uma parábola elíptica cujo vértice é
e que se abre no sentido negativo do eixo
(coeficientes das quadráticas em
são negativos).
Passo 6
Classificação e esboço:
É uma parábola elíptica (ou eliptic paraboloid) com vértice em . As curvas de nível
são elipses centradas em
, e à medida que
decresce abaixo de
as elipses crescem. O eixo de simetria é paralelo ao eixo
e a “boca” da parábola está voltada para baixo.
É uma parábola elíptica (ou eliptic paraboloid) com vértice em
Resposta
A superfície é um paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em
e eixos principais paralelos aos eixos
,
e
.