Exercício 7. (1.3 Pontos)

Descreva e esboce a quádrica cujos pontos pertencentes a ela satisfazem a equação
5 x^{2}+17 y^{2}+120 x-136 y+z=-982 .

Passo 1

O enunciado dá a superfície de equação
5x^{2} + 17y^{2} + 120x - 136y + z = -982
e pede que a classifiquemos e esbocemos. O conteúdo aqui é a identificação de uma quádricas por meio de mudança de variáveis (completar o quadrado) para obtermos a forma canônica.

Passo 2

Isolamos z para ver claramente como a superfície depende de x e y:
z = -982 - 5x^{2} - 120x \;-\; 17y^{2} + 136y.

Passo 3

Para completar o quadrado em x, fatoramos 5 das parcelas em x:
-5x^{2} - 120x = -5\bigl(x^{2} + 24x\bigr) = -5\Bigl[(x+12)^{2} - 144\Bigr] = -5(x+12)^{2} + 720.

Passo 4

De modo semelhante, para y fatoramos 17:
-17y^{2} + 136y = -17\bigl(y^{2} - 8y\bigr) = -17\Bigl[(y-4)^{2} - 16\Bigr] = -17(y-4)^{2} + 272.
Substituindo em z:
z = -982 \;+\; \bigl[-5(x+12)^{2} + 720\bigr] \;+\;\bigl[-17(y-4)^{2} + 272\bigr].

Passo 5

Agrupando termos constantes:
z = -5(x+12)^{2} -17(y-4)^{2} \;+\;(720 + 272 - 982) = -5(x+12)^{2} -17(y-4)^{2} + 10.
Portanto, a forma canônica é
z - 10 = -5(x+12)^{2} -17(y-4)^{2}.
Isto mostra uma parábola elíptica cujo vértice é \bigl(-12,4,10\bigr) e que se abre no sentido negativo do eixo z (coeficientes das quadráticas em x,y são negativos).

Passo 6

Classificação e esboço:
É uma parábola elíptica (ou eliptic paraboloid) com vértice em \bigl(-12,4,10\bigr). As curvas de nível z=\text{const} são elipses centradas em (x,y)=(-12,4), e à medida que z decresce abaixo de 10 as elipses crescem. O eixo de simetria é paralelo ao eixo z e a “boca” da parábola está voltada para baixo.

Resposta

A superfície é um paraboloide elíptico voltado para baixo, com vértice em \bigl(-12,4,10\bigr) e eixos principais paralelos aos eixos x, y e z.

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