Encontre uma equação do gráfico que consiste de todos os pontos (x, y) a uma dada distância da origem.
A distância da origem é duas vezes a distância do ponto (0,3).

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer achar o lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que a distância deles à origem é o dobro da distância ao ponto (0,3). O conteúdo envolve fórmulas de distância no plano e loci.

Passo 2

Vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano. A distância de (x,y) à origem (0,0) é raizx^2+y^2 e a distância ao ponto (0,3) é raiz(x-0)^2+(y-3)^2=raizx^2+(y-3)^2. Segundo o problema,
colocar as duas distâncias em relação:
raizx^2+y^2=2,raizx^2+(y-3)^2

Passo 3

Para eliminar as raízes, elevamos ambos os lados ao quadrado:
x^2+y^2=4l(x^2+(y-3)^2r)

Passo 4

Agora vamos expandir o lado direito e simplificar:
x^2+y^2=4x^2+4(y^2-6y+9)=4x^2+4y^2-24y+36

Passo 5

Trazendo tudo para um lado,
0=4x^2+4y^2-24y+36 -x^2 -y^2 =3x^2+3y^2-24y+36

Passo 6

Dividindo por 3 para simplificar,
x^2+y^2-8y+12=0

Passo 7

Para ver o tipo de curva, completamos o quadrado em y:
x^2 + (y^2-8y+16) +12-16=0 implies x^2+(y-4)^2 -4=0

Resposta

A equação do lugar geométrico é x^2+(y-4)^2=4.

Exercícios relacionados