Encontre a equação da hipérbole em cada caso:
Com eixo real sobre o eixo y, centro na origem, distância focal medindo 8 unidades e distância entre os vértices medindo 4 unidades.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole com centro na origem, eixo transverso sobre o eixo y, distância entre vértices igual a 4 e distância focal igual a 8. Vamos usar a forma padrão de uma hipérbole vertical e a relação entre os parâmetros.

Passo 2

Como o eixo real (transverso) está sobre o eixo y, a forma geral é
\frac{y^2}{a^2} \;-\;\frac{x^2}{b^2}=1.
A distância entre os vértices é 2a=4, logo a=2.
A distância focal é 2c=8, logo c=4.

Passo 3

Na hipérbole vale a relação
c^2 = a^2 + b^2.
Substituindo c=4 e a=2, obtemos
16 = 4 + b^2 \quad\Longrightarrow\quad b^2 = 12.

Passo 4

Substituindo a^2=4 e b^2=12 na equação padrão, a hipérbole fica
\frac{y^2}{4} \;-\;\frac{x^2}{12}=1.

Resposta

\frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{12} = 1.

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