Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaça as condições dadas.
c) Vértices
e
; distância entre os focos de 10 unidades.
c) Vértices
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos vértices estão em (0,6) e (6,6) e a distância entre os focos é 10. Vamos usar teoria de hipérboles: identificar centro, semi-eixo real a, distância focal c e então calcular o semi-eixo imaginário b para montar a equação.
Passo 2
Calculamos o centro da hipérbole como o ponto médio entre os vértices. Para (0,6) e (6,6) temos centro
Passo 3
A distância entre vértices é 2a. Como eles vão de x=0 a x=6, a distância é 6, logo 2a=6 e portanto a=3.
Passo 4
A distância entre focos é dada como 2c=10, então c=5.
Passo 5
Em hipérboles com eixo transverse horizontal, vale a relação
. Substituindo temos
logo
Passo 6
Como o eixo transverso é horizontal, a forma padrão da hipérbole é
Substituindo
,
,
e
obtemos a equação final.