Encontre uma equação para a hipérbole que satisfaça as condições dadas.
c) Vértices (0,6) e (6,6); distância entre os focos de 10 unidades.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole cujos vértices estão em (0,6) e (6,6) e a distância entre os focos é 10. Vamos usar teoria de hipérboles: identificar centro, semi-eixo real a, distância focal c e então calcular o semi-eixo imaginário b para montar a equação.

Passo 2

Calculamos o centro da hipérbole como o ponto médio entre os vértices. Para (0,6) e (6,6) temos centro
(h,k)=l(0+62,6+62r)=(3,6)

Passo 3

A distância entre vértices é 2a. Como eles vão de x=0 a x=6, a distância é 6, logo 2a=6 e portanto a=3.

Passo 4

A distância entre focos é dada como 2c=10, então c=5.

Passo 5

Em hipérboles com eixo transverse horizontal, vale a relação c^2=a^2+b^2. Substituindo temos
25 = 9 + b^2
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b^2 = 25 - 9 = 16

Passo 6

Como o eixo transverso é horizontal, a forma padrão da hipérbole é
(x-h)^2a^2 - (y-k)^2b^2 = 1
Substituindo h=3, k=6, a^2=9 e b^2=16 obtemos a equação final.

Resposta

(x-3)^2/9 - (y-6)^2/16 = 1

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