Encontre uma equação para a elipse que satisfaça as condições dadas.
c) Centro em
; eixo maior e menor ao longo dos eixos coordenados; passa por
e
.
c) Centro em
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a equação de uma elipse centrada em (0,0), com eixos maiores e menores alinhados aos eixos coordenados, que passa pelos pontos (3,2) e (1,6). O conteúdo aqui é a equação canônica de uma elipse alinhada aos eixos e precisamos determinar os semi-eixos
e
.
Passo 2
A forma canônica de uma elipse centrada na origem com eixos alinhados é
onde
é o semi-eixo horizontal e
é o semi-eixo vertical.
Passo 3
Como a elipse passa pelos pontos (3,2) e (1,6), substituímos essas coordenadas na equação geral. Isso gera o sistema:
Passo 4
Para facilitar, definimos
transformando o sistema em
Passo 5
Resolvendo esse sistema, por exemplo eliminando
ou
, encontramos
Isso implica
Resposta
A equação da elipse é