Encontre uma equação para a elipse que satisfaça as condições dadas.
c) Centro em (0,0); eixo maior e menor ao longo dos eixos coordenados; passa por (3,2) e (1,6).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a equação de uma elipse centrada em (0,0), com eixos maiores e menores alinhados aos eixos coordenados, que passa pelos pontos (3,2) e (1,6). O conteúdo aqui é a equação canônica de uma elipse alinhada aos eixos e precisamos determinar os semi-eixos a e b.

Passo 2

A forma canônica de uma elipse centrada na origem com eixos alinhados é
x^2a^2 + y^2b^2 = 1,
onde a é o semi-eixo horizontal e b é o semi-eixo vertical.

Passo 3

Como a elipse passa pelos pontos (3,2) e (1,6), substituímos essas coordenadas na equação geral. Isso gera o sistema:
9a^2 + 4b^2 = 1,
1a^2 + 36b^2 = 1

Passo 4

Para facilitar, definimos
A = 1a^2, B = 1b^2,
transformando o sistema em
9A + 4B = 1,
A + 36B = 1

Passo 5

Resolvendo esse sistema, por exemplo eliminando A ou B, encontramos
B = 140, A = 110
Isso implica
a^2 = 1A = 10, b^2 = 1B = 40

Resposta

A equação da elipse é
x^210 + y^240 = 1

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