Esboce os gráficos das seguintes funções:
(k) g(x)=-3 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função polinomial de segundo grau
g(x) = -3x^2 + 1
Para isso, vamos usar os conceitos de vértice, eixo de simetria, interceptos e concavidade de parábolas.

Passo 2

Calculemos o vértice e o eixo de simetria. Para g(x)=ax^2+bx+c temos
a=-3, b=0, c=1
O eixo de simetria tem abscissa
xv = -b2a = -02cdot(-3) = 0
A ordenada do vértice é
yv = g(0) = -3cdot0^2 + 1 = 1
Logo, o vértice é (0,1) e o eixo de simetria é a reta x=0.

Passo 3

Determine os interceptos com os eixos:
  1. Intercepto em y: já vimos g(0)=1, então cruza o eixo y em (0,1).
  2. Interceptos em x: resolva
-3x^2 + 1 = 0 ;Longrightarrow; x^2 = tfrac13;Longrightarrow; x = pm 1raiz3
Portanto os pontos de interseção com o eixo x são l(tfrac1raiz3,0r) e l(-tfrac1raiz3,0r).

Passo 4

Analise a concavidade e monotonia:
  • Como a=-3<0, a parábola é voltada para baixo (concavidade para baixo).
  • Em x<0 a função cresce até o vértice, e em x>0 ela decresce a partir do vértice.

Passo 5

Esboce então:
  1. Trace os eixos x e y.
  2. Marque o vértice (0,1).
  3. Marque os interceptos l(pmtfrac1raiz3,0r).
  4. Desenhe uma curva simétrica em relação ao eixo x=0, com concavidade voltada para baixo passando nesses pontos.

Resposta

O gráfico de g(x)=-3x^2+1 é uma parábola voltada para baixo, com vértice em (0,1), interceptos em l(pmtfrac1raiz3,0r) e eixo de simetria x=0.

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