Esboce os gráficos das seguintes funções:
(j) y=x^2+2 x+2

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
y = x^2 + 2x + 2
O conteúdo aqui é o estudo de parábolas: vamos completar o quadrado para achar vértice e eixo de simetria, determinar domínio, imagem, interceptos e mais alguns pontos para desenhar.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em
y = x^2 + 2x + 2
Agrupando os termos em x:
y = l(x^2 + 2x + 1r) + 1 = (x+1)^2 + 1
Dessa forma vemos que o vértice é (-1,1) e a parábola abre para cima (coeficiente de x^2 é positivo). O eixo de simetria é a reta x=-1.

Passo 3

Domínio e imagem:
O domínio de qualquer parábola quadrática é todo R.
A partir da forma (x+1)^2+1, o menor valor de (x+1)^2 é 0, então
y >= 1
Logo
Domínio = R, Ima>=m = [1,infty) í

Passo 4

Interceptos:
– Intercepto em y: faz x=0, então
y(0) = 0^2 + 2cdot0 + 2 = 2,
isto é, o ponto (0,2).
– Interceptos em x: resolve-se
x^2 + 2x + 2 = 0
O discriminante é
De<a = 2^2 - 4cdot1cdot2 = 4 - 8 = -4 < 0,
logo não há raízes reais e nenhum intercepto com o eixo x.

Passo 5

Para esboçar, marcamos:
– o vértice (-1,1) e a reta de simetria x=-1;
– o ponto (0,2) e seu simétrico em relação ao eixo x=-1, que é (-2,2);
– mais alguns pontos, por exemplo (1,5) e (-3,5).
Depois desenhamos a curva suave passando por esses pontos e abrindo para cima.

Resposta

O gráfico é uma parábola com:
– vértice em (-1,1),
– eixo de simetria x=-1,
– sem interceptos em x,
– intercepto em y no ponto (0,2),
– domínio R e imagem [1,infty),
– concavidade voltada para cima.

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