Mostre por indução matemática que 3 mid(5^n+2 cdot 11^n), forall n in N.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por indução matemática, que
3 mid l(5^n + 2cdot11^nr)
para todo ninN.
O método de indução exige dois passos: verificar o caso base e depois mostrar que, se vale para um k arbitrário, vale também para k+1.

Passo 2

(Caso base) Vamos checar n=1:
5^1 + 2cdot11^1 = 5 + 22 = 27 = 3cdot9,
logo 3midl(5^1+2cdot11^1r). O caso base está confirmado.

Passo 3

(Hipótese de indução) Suponha que, para algum kinN, valha
3 mid l(5^k + 2cdot11^kr)
Isto é, existe um inteiro M tal que
5^k + 2cdot11^k = 3M

Passo 4

(Passo indutivo) Devemos provar que então
3 mid l(5^k+1 + 2cdot11^k+1r)
Começamos manipulando a expressão:
5^k+1 + 2cdot11^k+1 = 5cdot5^k + 22cdot11^k = 5l(5^k + 2cdot11^kr) + 12cdot11^k = 5l(5^k + 2cdot11^kr) + 3cdotl(4cdot11^kr)
Pela hipótese de indução 5l(5^k+2cdot11^kr) é múltiplo de 3, e 3cdot(4cdot11^k) também é múltiplo de 3. Portanto a soma é múltiplo de 3, ou seja,
3 mid l(5^k+1 + 2cdot11^k+1r)

Passo 5

Concluímos, pelo princípio da indução matemática, que para todo ninN vale
3 mid l(5^n + 2cdot11^nr)

Resposta

Foi demonstrado que 3 divide 5^n+2cdot11^n para todo ninN.

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