Encontre uma equação paramétrica para a reta r que passa pelo ponto A=(1,2,-1) e perpendicular à reta s, dada por
Sr x+y-z=1 y+z=0

Passo 1

O enunciado pede a equação paramétrica da reta r que passa por A=(1,2,-1) e é perpendicular à reta s, definida como interseção dos planos
x+y-z=1
y+z=0
Vamos usar produto vetorial para achar o vetor diretor de s, escolher um ponto em s, parametrizar s, e em seguida determinar o pé da perpendicular a s a partir de A. Com isso teremos o vetor diretor de r e sua equação paramétrica.

Passo 2

Os vetores normais aos planos são
n1 = (1,1,-1),
n2 = (0,1,1)
O vetor diretor de s é o produto vetorial n1 times n2:
ds = n1 times n2 = l| i & j & k 1 & 1 & -1 0 & 1 & 1 r| = (1cdot1 -(-1)cdot1,; -[1cdot1 -(-1)cdot0],;1cdot1 -1cdot0) = (2,-1,1)

Passo 3

Para parametrizar s precisamos de um ponto P0 em s. Da segunda equação y+z=0 vem z=-y. Substituindo em x+y-z=1 x+2y=1. Tomando y=0 obtemos
P0 = (1,0,0)

Passo 4

A parametrização geral de s é
rs(t)=P0 + t,ds = (1,0,0) + t,(2,-1,1) =(1+2t,,-t,;t)

Passo 5

O pé H da perpendicular a s que passa por A satisfaz AHperp ds. Como
AH=l((1+2t)-1,,-t-2,;t+1r) =(2t,,-t-2,;t+1),
impomos
AHcdotds =(2t,,-t-2,;t+1)cdot(2,-1,1)=0
Calculando o produto escalar:
4t + (t+2) + (t+1)=6t+3=0 ;Longrightarrow; t=-tfrac12

Passo 6

Com t=-tfrac12 o pé H vale
H=l(1+2(-tfrac12),,-(-tfrac12),;-,tfrac12r) =(0,tfrac12,-tfrac12)
Então o vetor diretor de r é AH=H-A=(-1,-tfrac32,tfrac12). Multiplicando por 2 para evitar frações, podemos usar dr=(-2,-3,1).

Passo 7

A equação paramétrica da reta r com ponto A=(1,2,-1) e vetor diretor dr=(-2,-3,1) é
r(u) = (1,2,-1) + u,(-2,-3,1)

Resposta

x = 1 - 2u, y = 2 - 3u, z = -1 + u

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