Justifique se as expressões abaixo fazem sentido e, em caso afirmativo, diga se elas representam um número ou um vetor
a) [u, u times v, u cdot v]
b) (u cdot v times w) times v

Passo 1

Temos dois objetos para testar “tipagem” usando produto escalar ( cdot) e produto vetorial ( times) em R^3. Queremos ver se cada expressão está bem definida e, se estiver, dizer se é um número (escalar) ou um vetor em R^3.

Passo 2

Análise de a) [u,,utimesv,,ucdotv]
  • Se interpretarmos [ , , ] como produto misto (produto escalar triplo), a definição é
[a,b,c] = acdot(btimesc),
e requer três vetores.
  • Aqui, o terceiro argumento ucdotv é um escalar, não um vetor.
  • Logo, [u,,utimesv,,ucdotv] não faz sentido como produto misto.
  • Se por acaso interpretássemos [ , , ] como uma “tupla” (cdot,cdot,cdot), teríamos um objeto que agrupa dois vetores e um escalar, mas isso não é nem um vetor em R^3 nem um número; é apenas uma coleção heterogênea.

Passo 3

Análise de b) (ucdotvtimesw)timesv
  • Primeiro, devemos esclarecer a prioridade de operações. Tanto “ cdot” quanto “ times” têm precedência idêntica e são associativos à esquerda em uso padrão, mas a expressão ambígua ucdotvtimesw pode ser lida como
    1. ucdot(vtimesw), que é um escalar (produto misto), ou
    2. (ucdotv)timesw, que já falha porque ucdotv é escalar e não há “produto vetorial” entre escalar e vetor.
  • Em qualquer caso, o resultado intermediário é escalar, e em seguida faz-se “ timesv”, ou seja, escalar times vetor. Não existe definição de produto vetorial entre um escalar e um vetor em R^3.
  • Portanto, (ucdotvtimesw)timesv não faz sentido.

Resposta

a) Não faz sentido (mistura vetores e escalares onde se esperam vetores).
b) Não faz sentido (não existe produto vetorial entre escalar e vetor).

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