Calcule a distância do ponto P0=(2,-1,1) à reta r dada por
r(t)=(2-3 t,-t, 1+2 t)
(Não será aceito o uso de fórmula, à menos que essa seja deduzida.)

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto ,P0=(2,-1,1) à reta
r(t) = (2-3t,,-t,;1+2t)
O conteúdo aqui é “distância ponto–reta em R^3”. Para resolver, vamos usar geometria vetorial: escrever a reta na forma P(t)=A+t,d, encontrar o pé da perpendicular (minimiza a distância) impondo ortogonalidade e depois calcular o comprimento do vetor de ligação.

Passo 2

Escolhemos o ponto A na reta para t=0 e o vetor diretor d:
A = (2,0,1), d = (-3,-1,2),
pois de fato
P(t) = A + t,d = (2,0,1) + t(-3,-1,2) = (2-3t,,-t,,1+2t)

Passo 3

Definimos o vetor que liga A a P0:
AP0 = P0 - A = (2,-1,1) - (2,0,1) = (0,-1,0)

Passo 4

O pé da perpendicular ocorre quando o vetor P0-P(t) é ortogonal a d, ou seja
l(P0-P(t)r)cdotd = 0
Como P0-P(t)=AP0 - t,d, isso dá
l(AP0 - t,dr)cdotd = AP0cdotd - t,(dcdotd) =0
Calculamos
AP0cdotd = (0,-1,0)cdot(-3,-1,2) = 1, dcdotd = (-3)^2 + (-1)^2 + 2^2 = 14,
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t = 114

Passo 5

O pé da perpendicular é
F = Pl(tfrac114r) = l(2 - 3cdottfrac114,,-tfrac114,,1+2cdottfrac114r) = l(tfrac2514,,-tfrac114,,tfrac87r)

Passo 6

O vetor de distância é
P0 - F = l(2,-1,1r) - l(tfrac2514,-tfrac114,tfrac87r) = l(tfrac314,-tfrac1314,-tfrac214r) = 114(3,-13,-2)
Seu comprimento vale
|P0-F| = 114raiz3^2 + (-13)^2 + (-2)^2 = 114raiz9 + 169 + 4 = raiz18214 = raiz182196 = raiz1314

Resposta

A distância de P0 à reta r é
raiz1314

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