Encontre a equação do plano que passa por A(1,-2,1) e é perpendicular ao vetor \mathbf{n}=\mathbf{i}-2 \mathbf{j}+3 \mathbf{k} ? (A questão original está cortada, mas vamos completar com um exemplo típico: "perpendicular ao vetor \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+3 \mathbf{k}^{\prime \prime}.)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um ponto pelo qual o plano passa: A(1,-2,1).
  • Um vetor perpendicular ao plano: \mathbf{n}=\mathbf{i}-2\mathbf{j}+3\mathbf{k}.
O que se pede:
  • Encontrar a equação do plano que passa por A e é perpendicular ao vetor \mathbf{n}.

Passo 2

Ideia chave (sem nomes técnicos longos ainda): se um vetor \mathbf{n}=(a,b,c) é perpendicular a um plano, então para qualquer ponto P=(x,y,z) do plano o vetor que liga um ponto fixo P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0}) do plano até P é perpendicular a \mathbf{n}. Em notação de produto escalar isso vira:
\mathbf{n}\cdot (P-P_{0})=0.
Explicando o produto escalar: se \mathbf{u}=(u_{1},u_{2},u_{3}) e \mathbf{v}=(v_{1},v_{2},v_{3}) então
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}.
O produto escalar sendo zero significa que os vetores são perpendiculares. Vamos aplicar isso.

Passo 3

Identificar as componentes do vetor normal e do ponto dado:
  • \mathbf{n}=(1,-2,3), ou seja a=1, b=-2, c=3.
  • Ponto P_{0}=A=(1,-2,1), ou seja x_{0}=1, y_{0}=-2, z_{0}=1.
Escrevendo a condição \mathbf{n}\cdot(P-P_{0})=0 em coordenadas:
1\,(x-1)+(-2)\,(y+2)+3\,(z-1)=0.

Passo 4

Desenvolver os termos um a um:
1\,(x-1)=x-1, \qquad (-2)\,(y+2)=-2y-4, \qquad 3\,(z-1)=3z-3.
Somando tudo e igualando a zero:
(x-1)+(-2y-4)+(3z-3)=0.

Passo 5

Agrupar termos semelhantes e simplificar:
x-1-2y-4+3z-3=0
x-2y+3z-(1+4+3)=0
x-2y+3z-8=0.
Também é comum escrever a equação isolando a soma dos termos nas variáveis:
x-2y+3z=8.

Passo 6

Verificação rápida: substituir as coordenadas de A na equação para checar que o ponto pertence ao plano:
1-2(-2)+3\cdot1-8=1+4+3-8=0,
logo A satisfaz a equação, como esperado.

Resposta

x-2y+3z-8=0

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