Encontre a equação do plano que passa por
e é perpendicular ao vetor
? (A questão original está cortada, mas vamos completar com um exemplo típico: "perpendicular ao vetor
.)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um ponto pelo qual o plano passa:
. - Um vetor perpendicular ao plano:
.
O que se pede:
- Encontrar a equação do plano que passa por
e é perpendicular ao vetor .
Passo 2
Ideia chave (sem nomes técnicos longos ainda): se um vetor
é perpendicular a um plano, então para qualquer ponto
do plano o vetor que liga um ponto fixo
do plano até
é perpendicular a
. Em notação de produto escalar isso vira:
Explicando o produto escalar: se
e
então
O produto escalar sendo zero significa que os vetores são perpendiculares. Vamos aplicar isso.
Passo 3
Identificar as componentes do vetor normal e do ponto dado:
-
, ou seja , , . - Ponto
, ou seja , , .
Escrevendo a condição
em coordenadas:
Passo 4
Desenvolver os termos um a um:
Somando tudo e igualando a zero:
Passo 5
Agrupar termos semelhantes e simplificar:
Também é comum escrever a equação isolando a soma dos termos nas variáveis:
Passo 6
Verificação rápida: substituir as coordenadas de
na equação para checar que o ponto pertence ao plano:
logo
satisfaz a equação, como esperado.