Encontre
,
e
para as curvas planas nos Exercícios
Passo 1
O enunciado fornece a curva plana
e pede as três quantidades vetoriais/escalares:
-
: vetor unitário tangente (unit tangent), -
: vetor unitário normal principal (unit normal), -
: curvatura (curvature).
Informações dadas que vamos usar diretamente:
- as coordenadas
e ; - a curva é suave para todo
(deriváveis quantas vezes precisarmos).
O objetivo é calcular
, obter a velocidade
, formar
, depois calcular
e usar
e finalmente
.
Passo 2
Calcular a derivada primeira
componente a componente. Relembre: derivada de
é
e derivada de
é
. Portanto
Agora a velocidade (norma do vetor derivada) é
Explicando: calculou-se a norma euclidiana
e fatorou-se
para simplificar.
Passo 3
Formar o vetor unitário tangente
pela definição
Substituindo os resultados do passo anterior:
Para checar mentalmente: cada componente foi dividida pela velocidade; a norma de
vale
.
Passo 4
Precisamos de
. Vamos derivar as componentes de
com cuidado usando a regra da cadeia / derivada de
.
A primeira componente é
. Sua derivada é
A segunda componente é
. Usando produto e cadeia,
Simplificando a segunda parcela:
portanto
Colocando em fator comum
:
Logo o vetor derivada é
Passo 5
Calcular a norma de
. Da expressão acima:
Expliquei: a raiz de
é
e combinando potências obtemos
.
Passo 6
Formar o vetor normal unitário
pela definição
Substituindo
e
:
Ou escrito componente a componente,
Comentário didático: o sinal negativo aparece porque
apontou no sentido oposto ao “rotacionado em 90°” de
; tanto faz,
é unitário e normal a
. Se preferir a normal que resulta de rotacionar
por +90°, essa seria
, mas a convenção que usamos (
) dá a versão com sinais negativos aqui.
Passo 7
Calcular a curvatura
. Use a fórmula apropriada para curvas parametrizadas por
:
Substituindo
e
:
Comentário: curvatura é sempre não-negativa; aqui
para todo
.