Encontre \mathbf{T}, \mathbf{N} e \kappa para as curvas planas nos Exercícios
\mathbf{r}(t)=(2 t+3) \mathbf{i}+\left(5-t^{2}\right) \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado fornece a curva plana
\mathbf{r}(t)=(2t+3)\,\mathbf{i}+\bigl(5-t^{2}\bigr)\,\mathbf{j}
e pede as três quantidades vetoriais/escalares:
  • \mathbf{T}(t): vetor unitário tangente (unit tangent),
  • \mathbf{N}(t): vetor unitário normal principal (unit normal),
  • \kappa(t): curvatura (curvature).
Informações dadas que vamos usar diretamente:
  • as coordenadas x(t)=2t+3 e y(t)=5-t^{2};
  • a curva é suave para todo t (deriváveis quantas vezes precisarmos).
O objetivo é calcular \mathbf{r}'(t), obter a velocidade \|\mathbf{r}'(t)\|, formar \mathbf{T}(t)=\dfrac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}, depois calcular \mathbf{T}'(t) e usar \mathbf{N}(t)=\dfrac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|} e finalmente \kappa(t)=\dfrac{\|\mathbf{T}'(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.

Passo 2

Calcular a derivada primeira \mathbf{r}'(t) componente a componente. Relembre: derivada de 2t+3 é 2 e derivada de 5-t^{2} é -2t. Portanto
\mathbf{r}'(t)=2\,\mathbf{i}-2t\,\mathbf{j}.
Agora a velocidade (norma do vetor derivada) é
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{2^{2}+(-2t)^{2}}=\sqrt{4+4t^{2}}=2\sqrt{1+t^{2}}.
Explicando: calculou-se a norma euclidiana \sqrt{x'^{2}+y'^{2}} e fatorou-se 4 para simplificar.

Passo 3

Formar o vetor unitário tangente \mathbf{T}(t) pela definição
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.
Substituindo os resultados do passo anterior:
\mathbf{T}(t)=\frac{2\,\mathbf{i}-2t\,\mathbf{j}}{2\sqrt{1+t^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\,\mathbf{i}-\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,\mathbf{j}.
Para checar mentalmente: cada componente foi dividida pela velocidade; a norma de \mathbf{T}(t) vale 1.

Passo 4

Precisamos de \mathbf{T}'(t). Vamos derivar as componentes de \mathbf{T}(t) com cuidado usando a regra da cadeia / derivada de (1+t^{2})^{-1/2}.
A primeira componente é T_{x}(t)=(1+t^{2})^{-1/2}. Sua derivada é
T_{x}'(t)=-\tfrac{1}{2}(1+t^{2})^{-3/2}\cdot 2t=-t(1+t^{2})^{-3/2}.
A segunda componente é T_{y}(t)=-t(1+t^{2})^{-1/2}. Usando produto e cadeia,
T_{y}'(t)=-1\cdot(1+t^{2})^{-1/2}+(-t)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)(1+t^{2})^{-3/2}\cdot 2t.
Simplificando a segunda parcela:
(-t)\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right)\cdot 2t = t^{2},
portanto
T_{y}'(t)=-(1+t^{2})^{-1/2}+t^{2}(1+t^{2})^{-3/2}.
Colocando em fator comum (1+t^{2})^{-3/2}:
T_{y}'(t)=\bigl[-(1+t^{2})+t^{2}\bigr](1+t^{2})^{-3/2}=- (1+t^{2})^{-3/2}.
Logo o vetor derivada é
\mathbf{T}'(t)=- (1+t^{2})^{-3/2}\bigl(t\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}\bigr).

Passo 5

Calcular a norma de \mathbf{T}'(t). Da expressão acima:
\|\mathbf{T}'(t)\|=(1+t^{2})^{-3/2}\sqrt{t^{2}+1}=(1+t^{2})^{-3/2}(1+t^{2})^{1/2}=(1+t^{2})^{-1}.
Expliquei: a raiz de t^{2}+1 é (1+t^{2})^{1/2} e combinando potências obtemos (1+t^{2})^{-1}.

Passo 6

Formar o vetor normal unitário \mathbf{N}(t) pela definição
\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|}.
Substituindo \mathbf{T}'(t) e \|\mathbf{T}'(t)\|:
\mathbf{N}(t)=\frac{-(1+t^{2})^{-3/2}\,(t\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j})}{(1+t^{2})^{-1}} =-(1+t^{2})^{-1/2}\,(t\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}).
Ou escrito componente a componente,
\mathbf{N}(t)=-\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,\mathbf{i}-\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\,\mathbf{j}.
Comentário didático: o sinal negativo aparece porque \mathbf{T}'(t) apontou no sentido oposto ao “rotacionado em 90°” de \mathbf{T}; tanto faz, \mathbf{N} é unitário e normal a \mathbf{T}. Se preferir a normal que resulta de rotacionar \mathbf{T} por +90°, essa seria \bigl(\tfrac{t}{\sqrt{1+t^{2}}},\tfrac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\bigr), mas a convenção que usamos ( \mathbf{N}=\mathbf{T}'/\|\mathbf{T}'\|) dá a versão com sinais negativos aqui.

Passo 7

Calcular a curvatura \kappa(t). Use a fórmula apropriada para curvas parametrizadas por t:
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{T}'(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.
Substituindo \|\mathbf{T}'(t)\|=(1+t^{2})^{-1} e \|\mathbf{r}'(t)\|=2\sqrt{1+t^{2}}:
\kappa(t)=\frac{(1+t^{2})^{-1}}{2\sqrt{1+t^{2}}}=\frac{1}{2(1+t^{2})^{3/2}}.
Comentário: curvatura é sempre não-negativa; aqui \kappa(t)>0 para todo t.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(t)=\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\,\mathbf{i}-\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,\mathbf{j}
\displaystyle \mathbf{N}(t)=-\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}\,\mathbf{i}-\frac{1}{\sqrt{1+t^{2}}}\,\mathbf{j}
\displaystyle \kappa(t)=\frac{1}{2(1+t^{2})^{3/2}}

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