Encontre a equação do plano π, que passa pelo ponto C=(−5,1,2) e é perpendicular à reta que passa pelos pontos A=(2,2,-4) e B=(7,-1,3).
a) π:5x−3y+7z−14=0.
b) π:3x−3y+14=0.
c) π:5x−3y+7z+14=0.
d) π:6x−5y+7z+10=0.

Passo 1

Vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A questão pede para encontrar a equação de um plano π que passa pelo ponto $ C = (-5, 1, 2) $ e é perpendicular à reta que passa pelos pontos $ A = (2, 2, -4) $ e $ B = (7, -1, 3) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e equação de planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta que passa por A e B. O vetor diretor $ \vec{AB} $ é dado pela diferença das coordenadas de B e A:
AB

Passo 3

Como o plano π é perpendicular à reta AB, o vetor diretor $ \vec{AB} $ será o vetor normal $ \vec{n} $ do plano. Ou seja, $ \vec{n} = (5, -3, 7) $.

Passo 4

Com o vetor normal $ \vec{n} = (5, -3, 7) $ e o ponto $ C = (-5, 1, 2) $, podemos usar a equação geral do plano:
n = (5, -3, 7)

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
5(x + 5) - 3(y - 1) + 7(z - 2) = 0
5x + 25 - 3y + 3 + 7z - 14 = 0
5x - 3y + 7z + 14 = 0

Resposta

A equação do plano π é $ 5x - 3y + 7z + 14 = 0 $. Portanto, a alternativa correta é a c).

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