Encontre a equação do plano que passa pelo ponto A=(2,-1,3) e contém o eixo O z.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contém o eixo O z (ou seja, todos os pontos (0,0,z)) e passa pelo ponto A=(2,-1,3).
Conteúdo: equação geral de um plano em R^3. Para achar essa equação, precisamos de um vetor normal ao plano e de um ponto conhecido nele.

Passo 2

Como o plano contém o eixo O z, ele contém a reta de parâmetros
ell:;(0,0,t), tinR,
cuja direção é o vetor v1=(0,0,1). Além disso, contém A=(2,-1,3), e podemos ligar A à origem O=(0,0,0) por v2 = OA = (2,-1,3).

Passo 3

O vetor normal n ao plano é perpendicular a ambos v1 e v2, então
n ;=;v1 times v2 =;(0,0,1)times(2,-1,3) =(1,2,0)
Isto significa que a equação do plano pode ser escrita como
1,(x - x0) + 2,(y - y0) + 0,(z - z0) = 0
para qualquer ponto (x0,y0,z0) do plano.

Passo 4

Como a reta eixo O z passa pela origem O=(0,0,0), podemos usar O como ponto base. Substituindo (x0,y0,z0)=(0,0,0) na forma acima, vem
1cdot x + 2cdot y + 0cdot z = 0,
que é
x + 2y = 0
Verifique em A: 2 + 2(-1)=0, logo A pertence a esse plano.

Resposta

A equação do plano é
boxedx + 2y = 0

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