Mostre que a x+b y+c z+d=0, n=(a, b, c) neq 0 é paralelo a um dos eixos coordenados se, e somente se, a coordenada de n na direção deste eixo é nula.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o plano
ax + by + cz + d = 0,
cujo vetor normal é vec n=(a,b,c)neqvec 0, é paralelo a um eixo coordenado justamente quando a componente de vec n nessa direção é zero.
Conteúdo: geometria analítica de planos e condição de paralelismo entre reta e plano (produto escalar).

Passo 2

Uma reta com vetor diretor vec v é paralela a um plano de vetor normal vec n se, e somente se, vec n for ortogonal a vec v. Em fórmulas isso significa
vec n cdot vec v = 0

Passo 3

Os vetores diretores dos eixos coordenados são
vec ex=(1,0,0),
vec ey=(0,1,0) e
vec ez=(0,0,1).
Logo:
  • O plano é paralelo ao eixo x se, e somente se,
    vec n cdot vec ex = acdot1 + bcdot0 + ccdot0 = a = 0
  • O plano é paralelo ao eixo y se, e somente se,
    vec n cdot vec ey = acdot0 + bcdot1 + ccdot0 = b = 0
  • O plano é paralelo ao eixo z se, e somente se,
    vec n cdot vec ez = acdot0 + bcdot0 + ccdot1 = c = 0

Resposta

O plano ax+by+cz+d=0 é paralelo a um dos eixos coordenados exatamente quando a componente de vec n=(a,b,c) naquela direção for nula:
– paralelo a Ox se, e somente se, a=0;
– paralelo a Oy se, e somente se, b=0;
– paralelo a Oz se, e somente se, c=0.

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