(a) Encontre uma equação do plano que passa pelos pontos A(2,1,1), B(-1,-1,10) e C(1,3,-4).
(b) Encontre as equações simétricas da reta que passa por B e é perpendicular ao plano da parte (a).
(c) Um segundo plano passa por ( 2,0,4) e tem vetor normal \langle 2,-4,-3\rangle. Mostre que o ângulo agudo entre os planos é aproximadamente 43^{\circ}.
(d) Encontre as equações paramétricas para a reta intersecção dos dois planos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos (isso serve para não se perder depois):
Dados (pegos do enunciado):
A(2,1,1)
B(-1,-1,10)
C(1,3,-4)
Um segundo plano passa por P(2,0,4) e tem vetor normal \langle 2,-4,-3\rangle.
Perguntas:
(a) Encontrar uma equação do plano que passa pelos pontos A,B,C.
(b) Escrever as equações simétricas da reta que passa por B e é perpendicular ao plano da parte (a).
(c) Mostrar que o ângulo agudo entre o plano da parte (a) e o segundo plano (com normal \langle 2,-4,-3\rangle) é aproximadamente 43^\circ.
(d) Encontrar as equações paramétricas da reta interseção dos dois planos.
Passo 2
Construir um vetor normal ao plano que passa por A,B,C. Ideia e dados que vou usar: um plano é determinado por dois vetores diretores que saem de um mesmo ponto; o produto vetorial desses dois vetores dá um vetor normal ao plano. Vou formar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} (subtraindo coordenadas).
Explicação curta sobre produto vetorial (aula rápida): o produto vetorial de dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é um vetor \mathbf{u}\times\mathbf{v} perpendicular a ambos, dado por
Logo um vetor normal é \langle -8,-24,-8\rangle. Posso simplificar esse vetor dividindo por -8, obtendo o vetor normal mais simples
\mathbf{n}=\langle 1,3,1\rangle.
Passo 4
Escrever a equação do plano usando o vetor normal \mathbf{n}=\langle 1,3,1\rangle e o ponto A(2,1,1). Fórmula usada (aula rápida): a equação de um plano com normal \mathbf{n}=(a,b,c) passando por P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0,
pois isso expressa \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0.
Aplicando com a=1,b=3,c=1 e P_0=A(2,1,1):
1(x-2)+3(y-1)+1(z-1)=0.
Desenvolvendo:
x-2+3y-3+z-1=0\quad\Rightarrow\quad x+3y+z-6=0.
Portanto a equação do plano pedido na parte (a) é
x+3y+z-6=0.
Passo 5
Parte (b): equações simétricas da reta que passa por B e é perpendicular ao plano do item (a).
Explicação curta: uma reta perpendicular a um plano tem direção igual ao vetor normal do plano. Já sabemos o vetor normal \mathbf{n}=\langle 1,3,1\rangle. A reta passa por B(-1,-1,10), então as equações simétricas (quando componentes da direção são não nulas) são
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
onde (x_0,y_0,z_0) é o ponto e (a,b,c) é o vetor direção.
Substituindo:
\frac{x-(-1)}{1}=\frac{y-(-1)}{3}=\frac{z-10}{1},
ou seja,
\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-10}{1}.
(Isto responde a parte (b).)
Passo 6
Parte (c): calcular o ângulo agudo entre os dois planos. Observação importante (mini-aula): o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são os normais, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
onde |\cdot| garante o ângulo agudo (entre 0^\circ e 90^\circ). Aqui \mathbf{n}_1=\langle 1,3,1\rangle (do plano (a)) e \mathbf{n}_2=\langle 2,-4,-3\rangle (dado).
Portanto o ângulo agudo entre os planos é aproximadamente 43^\circ, como pedido.
Passo 7
Parte (d): encontrar as equações paramétricas da reta interseção dos dois planos.
Estratégia explicada: a direção da reta interseção de dois planos é perpendicular a ambos os vetores normais, portanto é dada pelo produto vetorial [\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2). Depois de obter a direção, preciso encontrar um ponto que satisfaça as duas equações de plano; com um ponto e a direção, escrevo as equações paramétricas.
Assim \mathbf{d}=\langle -5,5,-10\rangle. Posso simplificar dividindo por -5, obtendo a direção mais simples
\mathbf{d}=\langle 1,-1,2\rangle.
Agora encontrar um ponto de interseção dos planos. Escrevo as equações dos planos:
Plano (a): já achado
x+3y+z-6=0\quad\Rightarrow\quad x+3y+z=6.
Plano (b) (o segundo plano): usando normal \langle 2,-4,-3\rangle e ponto P(2,0,4), a equação é
2(x-2)-4(y-0)-3(z-4)=0,
que simplificando dá
2x-4y-3z+8=0\quad\Rightarrow\quad 2x-4y-3z=-8.
Para encontrar um ponto que satisfaça as duas equações, posso atribuir um valor a uma variável e resolver as duas equações lineares restantes. Uma escolha simples é fixar z=0 (qualquer escolha funciona desde que gere solução). Com z=0 temos o sistema: