1. (a) Encontre uma equação do plano que passa pelos pontos A(2,1,1), B(-1,-1,10) e C(1,3,-4).
    (b) Encontre as equações simétricas da reta que passa por B e é perpendicular ao plano da parte (a).
    (c) Um segundo plano passa por ( 2,0,4) e tem vetor normal \langle 2,-4,-3\rangle. Mostre que o ângulo agudo entre os planos é aproximadamente 43^{\circ}.
    (d) Encontre as equações paramétricas para a reta intersecção dos dois planos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos (isso serve para não se perder depois):
  • Dados (pegos do enunciado):
    • A(2,1,1)
    • B(-1,-1,10)
    • C(1,3,-4)
    • Um segundo plano passa por P(2,0,4) e tem vetor normal \langle 2,-4,-3\rangle.
  • Perguntas:
    (a) Encontrar uma equação do plano que passa pelos pontos A,B,C.
    (b) Escrever as equações simétricas da reta que passa por B e é perpendicular ao plano da parte (a).
    (c) Mostrar que o ângulo agudo entre o plano da parte (a) e o segundo plano (com normal \langle 2,-4,-3\rangle) é aproximadamente 43^\circ.
    (d) Encontrar as equações paramétricas da reta interseção dos dois planos.

Passo 2

Construir um vetor normal ao plano que passa por A,B,C. Ideia e dados que vou usar: um plano é determinado por dois vetores diretores que saem de um mesmo ponto; o produto vetorial desses dois vetores dá um vetor normal ao plano. Vou formar os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC} (subtraindo coordenadas).
  • Calcular \overrightarrow{AB}:
\overrightarrow{AB}=B-A = (-1-2,\,-1-1,\,10-1)=(-3,-2,9).
  • Calcular \overrightarrow{AC}:
\overrightarrow{AC}=C-A=(1-2,\,3-1,\,-4-1)=(-1,2,-5).
Explicação curta sobre produto vetorial (aula rápida): o produto vetorial de dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é um vetor \mathbf{u}\times\mathbf{v} perpendicular a ambos, dado por
\mathbf{u}\times\mathbf{v}=\big(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\big).
Esse vetor serve como normal do plano gerado por \mathbf{u} e \mathbf{v}.

Passo 3

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} para obter um vetor normal ao plano.
Usando \overrightarrow{AB}=(-3,-2,9) e \overrightarrow{AC}=(-1,2,-5):
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}= \big((-2)(-5)-9\cdot2,\;9(-1)-(-3)(-5),\;(-3)\cdot2-(-2)(-1)\big).
Agora calculando cada componente:
\begin{aligned} &\text{componente }x: (-2)(-5)-9\cdot2=10-18=-8,\\\ &\text{componente }y: 9(-1)-(-3)(-5)=-9-15=-24,\\\ &\text{componente }z: (-3)\cdot2-(-2)(-1)=-6-2=-8. \end{aligned}
Logo um vetor normal é \langle -8,-24,-8\rangle. Posso simplificar esse vetor dividindo por -8, obtendo o vetor normal mais simples
\mathbf{n}=\langle 1,3,1\rangle.

Passo 4

Escrever a equação do plano usando o vetor normal \mathbf{n}=\langle 1,3,1\rangle e o ponto A(2,1,1). Fórmula usada (aula rápida): a equação de um plano com normal \mathbf{n}=(a,b,c) passando por P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0,
pois isso expressa \mathbf{n}\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r_0})=0.
Aplicando com a=1,b=3,c=1 e P_0=A(2,1,1):
1(x-2)+3(y-1)+1(z-1)=0.
Desenvolvendo:
x-2+3y-3+z-1=0\quad\Rightarrow\quad x+3y+z-6=0.
Portanto a equação do plano pedido na parte (a) é
x+3y+z-6=0.

Passo 5

Parte (b): equações simétricas da reta que passa por B e é perpendicular ao plano do item (a).
Explicação curta: uma reta perpendicular a um plano tem direção igual ao vetor normal do plano. Já sabemos o vetor normal \mathbf{n}=\langle 1,3,1\rangle. A reta passa por B(-1,-1,10), então as equações simétricas (quando componentes da direção são não nulas) são
\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c},
onde (x_0,y_0,z_0) é o ponto e (a,b,c) é o vetor direção.
Substituindo:
\frac{x-(-1)}{1}=\frac{y-(-1)}{3}=\frac{z-10}{1},
ou seja,
\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-10}{1}.
(Isto responde a parte (b).)

Passo 6

Parte (c): calcular o ângulo agudo entre os dois planos. Observação importante (mini-aula): o ângulo entre dois planos é o mesmo que o ângulo entre seus vetores normais. Se \mathbf{n}_1 e \mathbf{n}_2 são os normais, o cosseno do ângulo \theta entre eles é dado por
\cos\theta=\frac{|\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2|}{\|\mathbf{n}_1\|\|\mathbf{n}_2\|},
onde |\cdot| garante o ângulo agudo (entre 0^\circ e 90^\circ). Aqui \mathbf{n}_1=\langle 1,3,1\rangle (do plano (a)) e \mathbf{n}_2=\langle 2,-4,-3\rangle (dado).
Calcular o produto escalar:
\mathbf{n}_1\cdot\mathbf{n}_2 = 1\cdot2 + 3\cdot(-4) + 1\cdot(-3) = 2-12-3 = -13.
Normas:
\|\mathbf{n}_1\|=\sqrt{1^2+3^2+1^2}=\sqrt{11},\qquad \|\mathbf{n}_2\|=\sqrt{2^2+(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{29}.
Logo
\cos\theta=\frac{|\,-13\,|}{\sqrt{11}\sqrt{29}}=\frac{13}{\sqrt{319}}.
Agora calcular o ângulo (transformando para graus). Aproximações comuns sem calculadora exata: \sqrt{319}\approx 17{,}8606, então
\cos\theta\approx \frac{13}{17{,}8606}\approx 0{,}7276.
Tomando arco cosseno:
\theta\approx \operatorname{arccos}(0{,}7276)\approx 43{,}2^\circ.
Portanto o ângulo agudo entre os planos é aproximadamente 43^\circ, como pedido.

Passo 7

Parte (d): encontrar as equações paramétricas da reta interseção dos dois planos.
Estratégia explicada: a direção da reta interseção de dois planos é perpendicular a ambos os vetores normais, portanto é dada pelo produto vetorial [\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2). Depois de obter a direção, preciso encontrar um ponto que satisfaça as duas equações de plano; com um ponto e a direção, escrevo as equações paramétricas.
  • Vetores normais:
\mathbf{n}_1=\langle 1,3,1\rangle,\qquad \mathbf{n}_2=\langle 2,-4,-3\rangle.
  • Direção \mathbf{d}=\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2. Calculo:
\mathbf{d}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[2pt] 1 & 3 & 1\\[2pt] 2 & -4 & -3 \end{vmatrix} =\langle 3(-3)-1(-4),\;-(1(-3)-1\cdot2),\;1(-4)-3\cdot2\rangle.
Calculando componentes:
\begin{aligned} &d_x=3(-3)-1(-4)=-9+4=-5,\\\ &d_y=-(1(-3)-1\cdot2)=-(-3-2)=5,\\\ &d_z=1(-4)-3\cdot2=-4-6=-10. \end{aligned}
Assim \mathbf{d}=\langle -5,5,-10\rangle. Posso simplificar dividindo por -5, obtendo a direção mais simples
\mathbf{d}=\langle 1,-1,2\rangle.
  • Agora encontrar um ponto de interseção dos planos. Escrevo as equações dos planos:
    • Plano (a): já achado
    x+3y+z-6=0\quad\Rightarrow\quad x+3y+z=6.
    • Plano (b) (o segundo plano): usando normal \langle 2,-4,-3\rangle e ponto P(2,0,4), a equação é
    2(x-2)-4(y-0)-3(z-4)=0,
    que simplificando dá
    2x-4y-3z+8=0\quad\Rightarrow\quad 2x-4y-3z=-8.
  • Para encontrar um ponto que satisfaça as duas equações, posso atribuir um valor a uma variável e resolver as duas equações lineares restantes. Uma escolha simples é fixar z=0 (qualquer escolha funciona desde que gere solução). Com z=0 temos o sistema:
\begin{cases} x+3y=6,\\[4pt] 2x-4y=-8. \end{cases}
Multiplicando a primeira por 2\]: \(2x+6y=12. Subtraindo a segunda:
(2x+6y)-(2x-4y)=12-(-8)\quad\Rightarrow\quad 10y=20\quad\Rightarrow\quad y=2.
Então x+3\cdot2=6\Rightarrow x=0. Assim um ponto da interseção é Q(0,2,0). (Verificação rápida: substituir nas duas equações confirma que é solução.)
  • Com o ponto Q(0,2,0) e a direção \mathbf{d}=\langle 1,-1,2\rangle, as equações paramétricas da reta são:
\begin{aligned} x&=0+t=t,\\\ y&=2-t,\\\ z&=0+2t=2t, \end{aligned}
onde t\in\mathbb{R}. Em forma vetor:
(x,y,z)=(0,2,0)+t\langle 1,-1,2\rangle.]

Resposta

(a) x+3y+z-6=0
(b) \dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y+1}{3}=\dfrac{z-10}{1}
(c) \theta\approx 43^\circ
(d) x=t,\quad y=2-t,\quad z=2t,\\ t\in\mathbb{R}

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