Ache um vetor U que tenha tamanho 3 e é perpendicular aos vetores V=(2,1,-3) e $W=(1,-2,3).

Passo 1

O enunciado pede um vetor U de comprimento 3 que seja perpendicular aos vetores
V = (2,1,-3)
e
W = (1,-2,3).
Para obter um vetor perpendicular a dois dados, usamos o produto vetorial.

Passo 2

Calculamos o produto vetorial V \times W. Por definição,
V \times W = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 1 & -3\\\\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1\cdot3 - (-3)\cdot(-2)) - \mathbf{j}(2\cdot3 - (-3)\cdot1) + \mathbf{k}(2\cdot(-2) - 1\cdot1).
Logo,
V \times W = (-3,\,-9,\,-5).

Passo 3

Agora achamos a norma de V\times W:
\|V \times W\| = \sqrt{(-3)^2 + (-9)^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 81 + 25} = \sqrt{115}.

Passo 4

Para obter um vetor de comprimento 3, normalizamos V\times W e multiplicamos por 3:
U = 3\,\frac{V \times W}{\|V \times W\|} = 3\,\frac{(-3,-9,-5)}{\sqrt{115}} = \frac{3}{\sqrt{115}}\,(-3,-9,-5).

Resposta

U = \frac{3}{\sqrt{115}}\,(-3,-9,-5),
que tem comprimento 3 e é perpendicular a V e W.

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