Encontre a equação do plano tangente à curva no ponto especificado.
r(u, v)=u^2 i+v^2 j+(u+v) k em (1,4,3)

Passo 1

O enunciado dá a superfície parametrizada por
r(u,v)=lang<= u^2,,v^2,,u+vrang<=
e pede a equação do plano tangente a essa superfície no ponto (1,4,3).
Conteúdo: parametrização de superfícies e plano tangente via vetores tangentes e produto vetorial.

Passo 2

Precisamos encontrar (u0,v0) tal que
u0^2=1, v0^2=4, u0+v0=3
Das duas opções u0=pm1 e v0=pm2, só u0=1 e v0=2 satisfaz 1+2=3. Logo,
(u0,v0)=(1,2)

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes
ru(u,v)=llang<=2u,,0,,1rrang<=, rv(u,v)=llang<=0,,2v,,1rrang<=
Em (1,2) têm-se
ru(1,2)=lang<=2,0,1rang<=, rv(1,2)=lang<=0,4,1rang<=

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é dado por
n=ru(1,2)timesrv(1,2) = i&j&k 2&0&1 0&4&1 =lang<=-4,,-2,,8rang<=,
que podemos simplificar para lang<=-2,-1,4rang<=.

Passo 5

A equação do plano com normal lang<= A,B,Crang<= passando por (x0,y0,z0) é
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Aqui A=-2, B=-1, C=4 e (x0,y0,z0)=(1,4,3), então
-2(x-1)-1(y-4)+4(z-3)=0
Desenvolvendo:
-2x+2 -y+4 +4z-12=0
-2x -y +4z -6=0
ou multiplicando por -1,
2x +y -4z +6=0

Resposta

A equação do plano tangente é
2x + y - 4z + 6 = 0

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