Encontre a equação do plano tangente à curva no ponto especificado.
r(u, v)=u i+v j+(u^2+v^2) k em (1,2,5)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a superfície paramétrica
r(u,v)=u,i+v,j+(u^2+v^2),k
e precisamos achar a equação do plano tangente no ponto (1,2,5). Como é uma superfície definida por parâmetros, vamos usar os vetores tangentes ru e rv e seu produto vetorial para obter o vetor normal ao plano.

Passo 2

Determinar (u0,v0) tal que r(u0,v0)=(1,2,5).
Das componentes em x e y vem
u0=1, v0=2
e, em z, verifica-se
u0^2+v0^2=1+4=5,
coincidindo com a ordenada do ponto.

Passo 3

Calcular os vetores tangentes
ru=(1,0,2u), rv=(0,1,2v),
e avaliá-los em (u0,v0)=(1,2):
ru(1,2)=(1,0,2), rv(1,2)=(0,1,4)

Passo 4

Obter o vetor normal ao plano tangente pelo produto vetorial
n=rutimesrv = i & j & k 1 & 0 & 2 0 & 1 & 4 =(-2,-4,1)

Passo 5

Escrever a equação ponto-normal do plano:
ncdotl((x,y,z)-(1,2,5)r)=0
que leva a
-2(x-1)-4(y-2)+(z-5)=0
e, ao expandir e isolar z, obtemos
z=2x+4y-5

Resposta

A equação do plano tangente à superfície em (1,2,5) é
boxedz=2x+4y-5

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