Encontre a equação da superfície que resulta ao rotar a curva:
y=sin x, ao redor de x

Passo 1

O enunciado pede a superfície obtida ao rotar em torno do eixo x a curva do plano xy dada por
y = sin x
Esse tipo de superfície é chamada de superfície de revolução. Para construí-la, note que cada ponto l(x,sin xr) ao girar em torno de x gera um círculo no plano yz de raio l|sin xr|.

Passo 2

Vamos usar coordenadas paramétricas. Seja u o parâmetro que percorre a curva no eixo x e theta o ângulo de rotação em torno do eixo x. Então um ponto genérico da superfície é
l(x,y,zr) = l(u,;sin ucostheta,;sin usinthetar),
com uinR e thetain[0,2pi).

Passo 3

Para achar a equação cartesiana, eliminamos o parâmetro theta. Das coordenadas paramétricas temos
y = sin ucostheta, z = sin usintheta
Somando os quadrados,
y^2 + z^2 = (sin ucostheta)^2 + (sin usintheta)^2 = sin^2 u,(cos^2theta + sin^2theta) = sin^2 u

Passo 4

Como na superfície de revolução mantemos u = x, substituímos sin^2 u por sin^2 x. Assim a equação cartesiana final da superfície é
y^2 + z^2 = sin^2 x

Resposta

A equação da superfície de revolução é
y^2 + z^2 = sin^2 x

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