Encontre a equação do plano tangente à curva no ponto especificado.
r(u, v)=3 v sin u i+2 v cos u j+u^2 k, em (0,2,0)

Passo 1

O enunciado dá uma superfície paramétrica
r(u,v)=3vsin u,i+2vcos u,j+u^2,k
e pede a equação do plano tangente no ponto (0,2,0).
Conteúdo: cálculo de plano tangente a superfície dada por parâmetros, usando derivadas parciais e produto vetorial para obter o vetor normal.

Passo 2

Encontrar os valores (u0,v0) tais que r(u0,v0)=(0,2,0).
Da componente k temos
u0^2=0Longrightarrow u0=0
Nas componentes i e j:
3v0sin(0)=0(sempre 0), 2v0cos(0)=2v0=2 Longrightarrow v0=1
Logo o ponto corresponde a (u0,v0)=(0,1).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais
ru=partialrpartial u =l(3vcos u,,-2vsin u,,2ur), rv=partialrpartial v =l(3sin u,;2cos u,;0r)
Avaliando em (u0,v0)=(0,1) resulta
ru(0,1)=(3,0,0), rv(0,1)=(0,2,0)

Passo 4

O vetor normal ao plano tangente é
N=ru(0,1)timesrv(0,1) =(3,0,0)times(0,2,0)=(0,0,6)

Passo 5

A equação do plano tangente em (0,2,0) satisfaz
Ncdotllang<= x-0,;y-2,;z-0rrang<==0 Longrightarrow 0,(x-0)+0,(y-2)+6,(z-0)=0
que simplifica para
z=0

Resposta

A equação do plano tangente é
z=0

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