Encontre a equação do plano tangente à curva no ponto especificado.
r(u, v)=u v i+u e^v j+v e^u k em u=ln 2 e v=0

Passo 1

O enunciado nos dá uma superfície parametrizada por
r(u,v)=l(u v,;u e^v,;v e^ur)
e pede a equação do plano tangente em (u,v)=(ln 2,,0). Vamos usar as derivadas parciais ru e rv para achar um vetor normal e, em seguida, montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, encontramos o ponto de contato na superfície:
x0=u,v,, y0=u,e^v,, z0=v,e^u
Em l(u0,v0r)=(ln 2,,0) isso dá
x0=(ln 2)cdot0=0, y0=(ln 2),e^0=ln 2, z0=0cdot e^ln 2=0
Logo, o ponto é
P0=(0,;ln 2,;0)

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
ru = partialpartial ul(u v,;u e^v,;v e^ur) =l(v,;e^v,;v,e^ur),
rv = partialpartial vl(u v,;u e^v,;v e^ur) =l(u,;u,e^v,;e^ur)

Passo 4

Avaliaremos essas derivadas em (u0,v0)=(ln 2,,0):
ru(ln2,0)=l(0,;e^0,;0cdot e^ln2r)=(0,1,0),
rv(ln2,0)=l(ln2,;(ln2)e^0,;e^ln2r) =l(ln2,;ln2,;2r)

Passo 5

O vetor normal ao plano tangente é o produto vetorial
n=rutimesrv =l(0,1,0r)timesl(ln2,ln2,2r) =(2,,0,,-ln2)

Passo 6

A equação do plano com normal n=(2,0,-ln2) passando por P0=(0,ln2,0) é
2,(x-0)+0,(y-ln2)-(ln2),(z-0)=0
Simplificando,
2x-(ln2),z=0

Resposta

A equação do plano tangente é
2x - (ln 2),z = 0

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