1. Seja T: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} uma transformação linear. Sendo f(x)=\langle x, T(x)\rangle, calcule D_{v} f(x).

Passo 1

O enunciado define
f\colon \mathbb{R}^n\to\mathbb{R},\quad f(x)=\langle x,\,T(x)\rangle
onde T é linear. Queremos a derivada direcional de f em x na direção v, ou seja
D_vf(x)=\lim_{t\to0}\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}.
Para isso vamos usar a bilinearidade do produto interno e a linearidade de T.

Passo 2

Calculemos primeiro f(x+tv). Como T é linear, temos T(x+tv)=T(x)+t\,T(v). Então
f(x+tv) =\bigl\langle x+tv,\;T(x)+t\,T(v)\bigr\rangle.
Usando a bilinearidade do produto interno, isso se expande em
\langle x,T(x)\rangle +t\,\langle v,T(x)\rangle +t\,\langle x,T(v)\rangle +t^2\langle v,T(v)\rangle.

Passo 3

Agora formamos a diferença
f(x+tv)-f(x) =t\,\langle v,T(x)\rangle +t\,\langle x,T(v)\rangle +t^2\langle v,T(v)\rangle.
Dividindo por t e fazendo t\to0 obtemos
\frac{f(x+tv)-f(x)}{t} =\langle v,T(x)\rangle+\langle x,T(v)\rangle +t\,\langle v,T(v)\rangle \;\xrightarrow[t\to0]{}\; \langle v,T(x)\rangle+\langle x,T(v)\rangle.

Resposta

D_vf(x)=\langle v,\,T(x)\rangle+\langle x,\,T(v)\rangle.

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