Encontre a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfície de equação a x^2+b y^2+c z^2=1 em um de seus pontos P0=(x0, y0, z0).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal à superfície
F(x,y,z)=a x^2+b y^2+c z^2=1
no ponto P0=(x0,y0,z0).
Conteúdo: para uma superfície dada por F(x,y,z)=constante, o vetor gradiente nabla F no ponto é normal ao plano tangente. Usaremos essa propriedade.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z)=a x^2+b y^2+c z^2
O gradiente de F é
nabla F(x,y,z)=l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr) =(2a x,;2b y,;2c z)
Em P0 temos
nabla F(P0)=(2a x0,;2b y0,;2c z0),
que é o vetor normal ao plano tangente em P0.

Passo 3

A equação do plano tangente em P0 é dada por
nabla F(P0)cdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0
Isto é,
2a x0(x - x0)+2b y0(y - y0)+2c z0(z - z0)=0
Podemos dividir por 2 e rearranjar usando a x0^2+b y0^2+c z0^2=1, obtendo a forma simplificada
a x0x + b y0y + c z0z =1

Passo 4

A reta normal passa por P0 e tem direção nabla F(P0). Em forma paramétrica, com parâmetro t,
x(t)=x0+2a x0,t, y(t)=y0+2b y0,t, z(t)=z0+2c z0,t

Resposta

Equação do plano tangente:
a x0x + b y0y + c z0z =1
Equações da reta normal (parâmetro t):
x=x0+2a x0,t, y=y0+2b y0,t, z=z0+2c z0,t

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