Exercício 1.5.1. Para cada uma das seguintes funções, analise-as quanto à continuidade e classifique os pontos de descontinuidade, caso existam:
h(x)=5 x-2log (x+3)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a continuidade de
h(x)=5x-2log(x+3)
e, caso haja descontinuidade, classificá-la. Trata-se de continuidade de quociente de funções, onde vamos precisar determinar o domínio de h e depois analisar o tipo de quebra em cada ponto fora desse domínio.

Passo 2

Determinamos o domínio de exigindo que o denominador exista e não seja zero. Como usamos o logaritmo natural,
e
Portanto
Nesses intervalos abertos, e são contínuas, e o quociente de contínuas com denominador não nulo é contínuo. Logo, é contínua em todo .

Passo 3

Os pontos em que h falha continuidade são exatamente os que não pertencem ao domínio:
  • Em x=-2:
    Ao aproximar-mos xto-2^-, tem-se x+3to1^- de modo que log(x+3)to0^- e 5x-2to-12. Logo h(x)=5x-2log(x+3);xrightarrow[xto-2^-];+infty Ao aproximar xto-2^+, log(x+3)to0^+ e 5x-2to-12, dando h(x);xrightarrow[xto-2^+];-infty Como os limites laterais divergem em sinais opostos, x=-2 é ponto de descontinuidade infinita (ou essencial do tipo vertical).
  • Em x=-3:
    Esse é limite de domínio pela direita. Para xto-3^+, temos x+3to0^+ de modo que log(x+3)to-infty e 5x-2to-17, resultando h(x)=5x-2log(x+3);xrightarrow[xto-3^+];0 O limite unilaterial existe e é finito, mas h(-3) não está definido. Logo, em x=-3 ocorre descontinuidade removível (num sentido unidirecional).

Resposta

h é contínua em (-3,-2)cup(-2,infty).
Pontos de descontinuidade:
  • x=-2: descontinuidade infinita (vertical).
  • x=-3: descontinuidade removível (unilateral), pois limxto-3^+h(x)=0.

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