Exercício 1.5.1. Para cada uma das seguintes funções, analise-as quanto à continuidade e classifique os pontos de descontinuidade, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede para estudar a continuidade de
e, caso haja descontinuidade, classificá-la. Trata-se de continuidade de quociente de funções, onde vamos precisar determinar o domínio de
e depois analisar o tipo de quebra em cada ponto fora desse domínio.
Passo 2
Determinamos o domínio de
exigindo que o denominador exista e não seja zero. Como usamos o logaritmo natural,
e
Portanto
Nesses intervalos abertos,
e
são contínuas, e o quociente de contínuas com denominador não nulo é contínuo. Logo,
é contínua em todo
.
Passo 3
Os pontos em que
falha continuidade são exatamente os que não pertencem ao domínio:
- Em
:
Ao aproximar-mos, tem-se de modo que e . Logo Ao aproximar ,xto-2^+ elog(x+3)to0^+ , dando5x-2to-12 Como os limites laterais divergem em sinais opostos,h(x);xrightarrow[xto-2^+];-infty é ponto de descontinuidade infinita (ou essencial do tipo vertical).x=-2 - Em
:x=-3
Esse é limite de domínio pela direita. Para , temosxto-3^+ de modo quex+3to0^+ elog(x+3)to-infty , resultando5x-2to-17 O limite unilaterial existe e é finito, mash(x)=5x-2log(x+3);xrightarrow[xto-3^+];0 não está definido. Logo, emh(-3) ocorre descontinuidade removível (num sentido unidirecional).x=-3
Resposta
Pontos de descontinuidade:
-
: descontinuidade infinita (vertical).x=-2 -
: descontinuidade removível (unilateral), poisx=-3 .limxto-3^+h(x)=0