Exercício 1.5.1. Para cada uma das seguintes funções, analise-as quanto à continuidade e classifique os pontos de descontinuidade, caso existam:
g(x)= tg(x), & se x neq 0 1x+1, & se x=0

Passo 1

O enunciado define a função
g(x)= tan(x),&se xneq0, dfrac1x+1,&se x=0,
e pede para estudar sua continuidade e classificar eventuais descontinuidades. Vamos usar que tan(x) é contínua em todo ponto do seu domínio e que a continuidade em 0 depende de comparar
limxto0tan(x) com g(0)=1. Também observamos que tan(x) não está definida em x=pi/2 + kpi.

Passo 2

Para xneq0 e diferente de pi/2 + kpi, a definição de g coincide com tan(x), que é contínua em todo ponto onde está definida. Logo, g é contínua em cada xneq0 que não seja um ponto de descontinuidade de tan(x).

Passo 3

Nos pontos
x=pi2 + kpi, kinZ,
a função tan(x) tem assíntotas verticais e portanto não está definida. Esses são pontos de descontinuidade infinita (ou essencial) de g, pois
limxto(pi/2+kpi)^pmtan(x)=pminfty.

Passo 4

No ponto x=0, temos
limxto0g(x)=limxto0tan(x)=0,
mas g(0)=tfrac10+1=1. A existência de limxto0g(x) finito, diferente de g(0), caracteriza uma descontinuidade removível em x=0.

Resposta

Em resumo, g é contínua em todo xneq0 que não seja da forma pi/2+kpi. Há descontinuidades em:
em x=0, descontinuidade removível;
em x=pi/2 + kpi com kinZ, descontinuidade infinita.

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