Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto correspondente a
.
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos:
- A função é
. - O ponto no domínio dado é
. O ponto do gráfico correspondente é . - O objetivo: encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto correspondente a .
Dado que
, o ponto do gráfico onde queremos o plano tangente é
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo).
- O gráfico de
é a superfície de coordenadas com . - O plano tangente em
é a melhor aproximação linear da superfície ali. A fórmula padrão do plano tangente é:
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a avaliada em . Ela mede a inclinação da superfície na direção . -
é a derivada parcial de em relação a avaliada em . Ela mede a inclinação na direção . - Intuição breve: se deslocarmos
e por pequenos , então
que é exatamente a equação do plano tangente vista como aproximação linear.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
- Escrevendo
como composição, . Aplicamos a regra da cadeia. - Derivada parcial em relação a
:
Como
, obtemos
- De modo análogo, a derivada parcial em relação a
é
(As duas são iguais porque
e
aparecem de forma simétrica dentro da raiz.)
Passo 4
Avaliar as derivadas em
.
- Primeiro lembramos que
. - Então
Passo 5
Montar a equação do plano tangente usando a fórmula do Passo 2 com
,
,
,
,
.
- Substituindo:
- Simplificando passo a passo:
Passo 6
Dar uma forma alternativa (forma implícita) multiplicando tudo por
se preferir:
Como verificação rápida, o ponto
satisfaz
, então o plano passa pelo ponto correto.