Encontre a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x, y)=\sqrt{x+y+1} no ponto correspondente a (3,0).

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos:
  • A função é \,f(x,y)=\sqrt{x+y+1}\,.
  • O ponto no domínio dado é (3,0). O ponto do gráfico correspondente é (3,0,f(3,0)).
  • O objetivo: encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto correspondente a (3,0).
Dado que \,f(3,0)=\sqrt{3+0+1}=\sqrt{4}=2\,, o ponto do gráfico onde queremos o plano tangente é (3,0,2).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicado passo a passo).
  • O gráfico de f é a superfície de coordenadas (x,y,z) com z=f(x,y).
  • O plano tangente em (a,b,f(a,b)) é a melhor aproximação linear da superfície ali. A fórmula padrão do plano tangente é:
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b).
Aqui:
  • \,f_x(a,b)\, é a derivada parcial de f em relação a x avaliada em (a,b). Ela mede a inclinação da superfície na direção x.
  • \,f_y(a,b)\, é a derivada parcial de f em relação a y avaliada em (a,b). Ela mede a inclinação na direção y.
  • Intuição breve: se deslocarmos x e y por pequenos \Delta x,\Delta y, então
f(a+\Delta x, b+\Delta y)\approx f(a,b)+f_x(a,b)\,\Delta x+f_y(a,b)\,\Delta y,
que é exatamente a equação do plano tangente vista como aproximação linear.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.
  • Escrevendo f como composição, \,f(x,y)=(x+y+1)^{1/2}\,. Aplicamos a regra da cadeia.
  • Derivada parcial em relação a x:
f_x(x,y)=\frac{1}{2}(x+y+1)^{-1/2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y+1).
Como \dfrac{\partial}{\partial x}(x+y+1)=1, obtemos
f_x(x,y)=\frac{1}{2}(x+y+1)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x+y+1}}.
  • De modo análogo, a derivada parcial em relação a y é
f_y(x,y)=\frac{1}{2\sqrt{x+y+1}}.
(As duas são iguais porque x e y aparecem de forma simétrica dentro da raiz.)

Passo 4

Avaliar as derivadas em (a,b)=(3,0).
  • Primeiro lembramos que \sqrt{3+0+1}=\sqrt{4}=2.
  • Então
f_x(3,0)=\frac{1}{2\sqrt{4}}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4},
f_y(3,0)=\frac{1}{4}.

Passo 5

Montar a equação do plano tangente usando a fórmula do Passo 2 com a=3, b=0, f(3,0)=2, f_x(3,0)=\tfrac{1}{4}, f_y(3,0)=\tfrac{1}{4}.
  • Substituindo:
z = 2 + \frac{1}{4}(x-3) + \frac{1}{4}(y-0).
  • Simplificando passo a passo:
z = 2 + \frac{1}{4}x - \frac{3}{4} + \frac{1}{4}y,
z = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}y + \left(2-\frac{3}{4}\right),
z = \frac{1}{4}x + \frac{1}{4}y + \frac{5}{4}.

Passo 6

Dar uma forma alternativa (forma implícita) multiplicando tudo por 4 se preferir:
4z = x + y + 5 \quad\Longrightarrow\quad x + y - 4z + 5 = 0.
Como verificação rápida, o ponto (3,0,2) satisfaz \,3+0-4\cdot2+5=0, então o plano passa pelo ponto correto.

Resposta

z=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{4}y+\dfrac{5}{4}

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