Considere a função f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4 x-6 y+5. Determine os pontos críticos de f, utilize o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico e determine os pontos de máximo local e mínimo local da função.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{2}-4x-6y+5 e pede:
  • Determinar os pontos críticos de f.
  • Usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).
  • Indicar explicitamente os pontos de máximo local e de mínimo local da função.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para todos os pares (x,y) em \mathbb{R}^{2}.
  • Nenhuma outra restrição ou figura foi dada.

Passo 2

O que é um ponto crítico e como achá-lo (explicação curta e prática):
  • Um ponto crítico é um ponto onde todas as derivadas parciais de primeira ordem são zero (ou não existem). Na prática, para funções suaves como essa, calculamos \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} e resolvemos o sistema igualando-as a zero.
  • Ao derivar parcialmente em relação a x, trata-se y como constante; ao derivar em relação a y, trata-se x como constante.
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-4, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y-6.

Passo 3

Encontrando os pontos críticos resolvendo o sistema \nabla f=(0,0)\): \[\begin{cases} 2x-4=0,\\[4pt] 2y-6=0. \end{cases}
Resolvendo cada equação:
2x-4=0 \Rightarrow x=2, \qquad 2y-6=0 \Rightarrow y=3.
Portanto há um único ponto crítico: (,(2,3)].]

Passo 4

Preparação para o teste da segunda derivada (explicando o que é e por que usar):
  • Para classificar um ponto crítico em \mathbb{R}^2 usamos as segundas derivadas e formamos a matriz Hessiana
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}, f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} e f_{xy}=f_{yx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
  • O teste da segunda derivada em \mathbb{R}^{2}: calcule D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2} no ponto crítico.
    • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
    • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
    • Se D<0 então é ponto de sela.
    • Se D=0 o teste é inconclusivo.]

Passo 5

Calcule as segundas derivadas para a nossa função:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(2x-4)=2, \qquad f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(2y-6)=2, \qquad f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-4)=0.
A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix}.
Agora calcule o discriminante D:
D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=2\cdot 2 - 0^{2}=4.
Temos D=4>0 e f_{xx}=2>0. Pelo teste da segunda derivada, o ponto crítico (2,3) é um mínimo local.]

Passo 6

Avaliar o valor da função no ponto crítico e discutir se é mínimo global:
Calcule f(2,3):
f(2,3)=2^{2}+3^{2}-4\cdot 2 -6\cdot 3 +5 =4+9-8-18+5.
Somando:
4+9=13,\quad -8-18=-26,\quad 13-26+5=-8.
Logo f(2,3)=-8.
Uma observação útil (completa o entendimento): complete os quadrados para ver a forma da função:
f(x,y)=x^{2}-4x+y^{2}-6y+5=(x-2)^{2}-(2)^{2}+(y-3)^{2}-(3)^{2}+5.
Agrupando constantes:
f(x,y)=(x-2)^{2}+(y-3)^{2}-4-9+5=(x-2)^{2}+(y-3)^{2}-8.
Como (x-2)^{2}\ge 0 e (y-3)^{2}\ge 0 para todos os (x,y), a menor soma possível é 0, atingida quando x=2 e y=3. Assim f(x,y)\ge -8 para todo (x,y), e o valor -8 é atingido exatamente em (2,3). Portanto o mínimo local é também mínimo global, e não existe máximo local (a função cresce indefinidamente quando |x| ou |y| aumentam).

Resposta

Ponto crítico: (2,3).\nClassificação pelo teste da segunda derivada: mínimo local em (2,3).\nValor no mínimo: f(2,3)=-8 (mínimo global).\nNão há pontos de máximo local.

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