Considere a função
. Determine os pontos críticos de
, utilize o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico e determine os pontos de máximo local e mínimo local da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
- Determinar os pontos críticos de
. - Usar o teste da segunda derivada para classificar cada ponto crítico (mínimo, máximo ou sela).
- Indicar explicitamente os pontos de máximo local e de mínimo local da função.
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para todos os pares
em . - Nenhuma outra restrição ou figura foi dada.
Passo 2
O que é um ponto crítico e como achá-lo (explicação curta e prática):
- Um ponto crítico é um ponto onde todas as derivadas parciais de primeira ordem são zero (ou não existem). Na prática, para funções suaves como essa, calculamos
e e resolvemos o sistema igualando-as a zero. - Ao derivar parcialmente em relação a
, trata-se como constante; ao derivar em relação a , trata-se como constante.
Calculemos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Encontrando os pontos críticos resolvendo o sistema
Resolvendo cada equação:
Portanto há um único ponto crítico: (,(2,3)].]
Passo 4
Preparação para o teste da segunda derivada (explicando o que é e por que usar):
- Para classificar um ponto crítico em
usamos as segundas derivadas e formamos a matriz Hessiana
onde
,
e
.
- O teste da segunda derivada em
: calcule no ponto crítico. - Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.]
- Se
Passo 5
Calcule as segundas derivadas para a nossa função:
A matriz Hessiana é
Agora calcule o discriminante
:
Temos
e
. Pelo teste da segunda derivada, o ponto crítico
é um mínimo local.]
Passo 6
Avaliar o valor da função no ponto crítico e discutir se é mínimo global:
Calcule :
Calcule
Somando:
Logo
.
Uma observação útil (completa o entendimento): complete os quadrados para ver a forma da função:
Agrupando constantes:
Como
e
para todos os
, a menor soma possível é
, atingida quando
e
. Assim
para todo
, e o valor
é atingido exatamente em
. Portanto o mínimo local é também mínimo global, e não existe máximo local (a função cresce indefinidamente quando
ou
aumentam).
Resposta
Ponto crítico:
.\nClassificação pelo teste da segunda derivada: mínimo local em
.\nValor no mínimo:
(mínimo global).\nNão há pontos de máximo local.