Seja f(x, y)=e^{-x^{2}-y^{2}}. Determine o gradiente de f no ponto (1,0) e a derivada direcional de f nesse ponto na direção do vetor \mathbf{v}=(3,4).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=e^{-x^{2}-y^{2}}, o ponto (1,0) e o vetor \mathbf{v}=(3,4). Pede duas coisas:
  • o gradiente de f no ponto (1,0);
  • a derivada direcional de f nesse ponto na direção do vetor \mathbf{v}.
Informações relevantes fornecidas:
  • a fórmula explícita de f;
  • o ponto onde avaliaremos o gradiente e a derivada direcional: (1,0);
  • o vetor de direção \mathbf{v}=(3,4) (lembrar que a derivada direcional usa a direção unitária correspondente a esse vetor).

Passo 2

Entender o que é o gradiente e como calculá-lo (aula rápida):
  • O gradiente de uma função f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e em relação a y. Em notação,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Cada derivada parcial é feita tratando a outra variável como constante.
  • No nosso caso, f(x,y)=e^{u(x,y)} com u(x,y)=-x^{2}-y^{2}. A regra da cadeia diz que a derivada de e^{u} em relação a uma variável é e^{u} vezes a derivada de u nessa variável.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais passo a passo:
  • Primeiro defino u(x,y)=-x^{2}-y^{2}. Então
\frac{\partial u}{\partial x}=-2x,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=-2y.
  • Aplicando a regra da cadeia para f=e^{u}:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2x)=-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=e^{-x^{2}-y^{2}}\cdot(-2y)=-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}.

Passo 4

Formar o gradiente geral e avaliá-lo em (1,0):
  • O gradiente geral é
\label{grad} \nabla f(x,y)=\left(-2x\,e^{-x^{2}-y^{2}},\;-2y\,e^{-x^{2}-y^{2}}\right).
  • Agora substituo x=1 e y=0:
\nabla f(1,0)=\left(-2\cdot1\cdot e^{-1^{2}-0^{2}},\;-2\cdot0\cdot e^{-1^{2}-0^{2}}\right)=\left(-2e^{-1},\;0\right).

Passo 5

Explicar a derivada direcional e a fórmula que vamos usar:
  • A derivada direcional de f em (1,0) na direção do vetor \mathbf{v} é a taxa de variação de f ao deslocar-se a partir de (1,0) na direção de \mathbf{v}.
  • É necessário usar a direção unitária correspondente a \mathbf{v}. Se \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \mathbf{v}, então a derivada direcional é
D_{\mathbf{u}}f(1,0)=\nabla f(1,0)\cdot\mathbf{u},
ou seja o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.
  • Se quiser a derivada na direção do vetor não-normalizado \mathbf{v}, normalmente padroniza-se dividindo por a norma de \mathbf{v}, isto é usa-se \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}.

Passo 6

Calcular o vetor unitário na direção de \mathbf{v}=(3,4):
  • Norma de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
  • Portanto o vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{3}{5},\;\frac{4}{5}\right).

Passo 7

Calcular a derivada direcional como produto escalar:
  • Já temos \nabla f(1,0)=\left(-2e^{-1},\;0\right) e \mathbf{u}=\left(\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5}\right).
  • O produto escalar é
\nabla f(1,0)\cdot\mathbf{u} = \left(-2e^{-1}\right)\cdot\frac{3}{5} + 0\cdot\frac{4}{5} = -\frac{6}{5}e^{-1}.
  • Logo a derivada direcional de f no ponto (1,0) na direção do vetor \mathbf{v}=(3,4) (ou seja, na direção unitária correspondente) é -\dfrac{6}{5}e^{-1}.

Resposta

\nabla f(1,0)=\left(-2e^{-1},\;0\right)
D_{\mathbf{v}}f(1,0)=-\dfrac{6}{5}e^{-1}

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