Seja
. Determine o gradiente de
no ponto
e a derivada direcional de
nesse ponto na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o vetor
. Pede duas coisas:
- o gradiente de
no ponto ; - a derivada direcional de
nesse ponto na direção do vetor .
Informações relevantes fornecidas:
- a fórmula explícita de
; - o ponto onde avaliaremos o gradiente e a derivada direcional:
; - o vetor de direção
(lembrar que a derivada direcional usa a direção unitária correspondente a esse vetor).
Passo 2
Entender o que é o gradiente e como calculá-lo (aula rápida):
- O gradiente de uma função
é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a e em relação a . Em notação,
- Cada derivada parcial é feita tratando a outra variável como constante.
- No nosso caso,
com . A regra da cadeia diz que a derivada de em relação a uma variável é vezes a derivada de nessa variável.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais passo a passo:
- Primeiro defino
. Então
- Aplicando a regra da cadeia para
:
Passo 4
Formar o gradiente geral e avaliá-lo em
:
- O gradiente geral é
- Agora substituo
e :
Passo 5
Explicar a derivada direcional e a fórmula que vamos usar:
- A derivada direcional de
em na direção do vetor é a taxa de variação de ao deslocar-se a partir de na direção de . - É necessário usar a direção unitária correspondente a
. Se é o vetor unitário na direção de , então a derivada direcional é
ou seja o produto escalar entre o gradiente e o vetor unitário.
- Se quiser a derivada na direção do vetor não-normalizado
, normalmente padroniza-se dividindo por a norma de , isto é usa-se .
Passo 6
Calcular o vetor unitário na direção de
:
- Norma de
:
- Portanto o vetor unitário é
Passo 7
Calcular a derivada direcional como produto escalar:
- Já temos
e . - O produto escalar é
- Logo a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor (ou seja, na direção unitária correspondente) é .