Uma partícula desloca-se sobre o eixo 0x com velocidade v(t)=sen 2t, t >= 0. Calcule o espaço percorrido entre os instantes t=0 e t=1.

Passo 1

Temos uma partícula movendo-se ao longo do eixo x com velocidade v(t)=sin2t para t>=0. A questão pede o espaço percorrido entre t=0 e t=1, o que envolve o conceito de integral definida da velocidade (e, se a velocidade mudasse de sinal, usaríamos |v(t)|).

Passo 2

Precisamos verificar o sinal de v(t) em [0,1]. Como sin2t é positiva para 0<=2t<=pi, ou seja 0<= t<=pi/2approx1,57, e nosso intervalo é até t=1, temos sin2t>=0. Portanto, o espaço percorrido será simplesmente integral0^1v(t),dt=integral0^1sin2t,dt.

Passo 3

Para calcular integral0^1sin2t,dt, primeiro achamos uma antiderivada de sin2t. Fazendo a substituição u=2t, temos du=2,dt e dt=du/2. Assim:
integralsin2t,dt=integralsin udu2=-12cos u+C=-12cos2t+C

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida usando a antiderivada -tfrac12cos2t:
integral0^1sin2t,dt=l[-tfrac12cos2tr]0^1=-tfrac12cos2+tfrac12cos0=1-cos22

Resposta

1-cos22

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